Çoklu koşullandırmalı koşullu beklenti

Question

Herhangi bir rv için $X$ ve $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Ama bunu kanıtlayacak gibi görünmüyorum. Adam's Law'u ekstra şartlandırmayla kullanmayı denedim ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) ama onunla hiçbir yere varamıyorum.

Denediğim şey şudur:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Olaydan beri $X$ oldu ve $g(X)$ her ikisine de koşullanmış eşdeğerdir $X$ ve $g(X)$bunlardan sadece birindeki şartlandırma ile aynıdır. Bunun herhangi bir sezgisel yorumu var mı?

Bu aynı zamanda şartlanma anlamına mı geliyor? $X$ veya herhangi bir işlev $g$ nın-nin $X$ aynı mı

Answer 1

Bu, Koşullu Beklentilerin Kule Mülkiyetinin özel bir durumudur. $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ sonra $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Bu eşitliklerden ikincisini kullanın, $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ ve $\mathcal F_2=\sigma(X)$.

Answer 2

Zaten sahip olduğunuz argüman oldukça iyi bir ölçü dışı teori argümanıdır. Bunu aşağıda resmileştireceğim, bazı detaylar hakkında güven vermeye yardımcı olabilir.

Argüman yapınızı kullanarak: Let $g(X)=E[Y|X]$. Sonra\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}(a) yinelenen beklentiler yasasını kullandığı; (b) kullanır$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) kullanır$E[Z|Z]=Z$ herhangi bir rastgele değişken için $Z$. $\Box$

---

Daha yakından incelenen (b) adımı: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ ve bu sezgisel olarak, zaten biliyorsak $X$, ardından ek bilgiler $g(X)$ yeni bir şey eklemez.

---

Notlar:

• Koşullandırma $X$ genellikle şartlandırma ile aynı değildir $g(X)$, ancak bu özel problemde işe yarıyor.

• Cevabınız üzerine ilk yorumumun satırları boyunca bir ölçü-teori türetmesi verilebilir. Ayrıca haklı da gösterebilirsin$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ daha resmi olarak ölçü teorisi ("tarafından üretilen sigma cebiri $(g(X),X)$ tarafından üretilen sigma cebiriyle aynıdır $X$").

• Biçimsel bir ölçü teorisi tanımı, koşullu bir beklentinin "versiyonlarından" bahseder ve ben bu cevapta bu kadar detaya girmiyorum (bazı insanlar benim eşitliklerimi "olasılık 1" olan eşitliklerle değiştirmek isteyebilir).