Düzenli koşullu dağılım kullanarak koşullu Hölder eşitsizliğini kanıtlama

Question

Düzenli koşullu dağılımlar kullanarak koşullu Hölder eşitsizliğini kanıtlamaya çalışıyorum. Kanıtlamaya çalıştığım eşitsizlik:

İçin $p,q \in (1,\infty)$ ile $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, ve için $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ ve $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, ve için $\mathcal F \subset \mathcal A$ Bir alt-$\sigma$-algebra, neredeyse elimizde $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$

Bu gerçeğin birçok kanıtı buldum, ancak özellikle düzenli koşullu dağılımlar teoremini kullanarak bunu kanıtlamaya çalışıyorum:

İzin Vermek $X$ rastgele değişken olmak $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ Borel uzayındaki değerlerle $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ bir alt$\sigma$-algebra ve $\kappa_{X,\mathcal F}$ düzenli bir koşullu dağılımı $X$ verilen $\mathcal F$. Ayrıca, izin ver$f : E \to \mathbb R$ ölçülebilir ve $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Sonra,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$

Young'ın eşitsizliğini, tekdüzeliğini ve koşullu beklentinin doğrusallığını uygulamak bana $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$ama buradan istenen eşitsizliğe ulaşmakta güçlük çekiyorum. Alternatif olarak, standart Hölder eşitsizliği bize şunu verir:$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, dolayısıyla yukarıdaki sonuç aynı zamanda $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Ancak bu yaklaşımların her ikisi de beni döngüsel tartışmalara veya resmi olarak var olduğunu düşünmediğim önlemleri kullanmaya yönlendirdi ( $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ sabit için $\omega\in\Omega$). Herhangi bir öneri veya bakılacak başka yer var mı?

Answer 1

İzin Vermek $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ projeksiyon ol $\pi_1(x,y) = x$ ve $\pi_2(x,y) = y$. Gösterdikten sonra$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ ae için sonlu olan düzenli koşullu dağılımlarda belirtilen sonuca göre $\omega\in\Omega$. Yani$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$ve benzer şekilde $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, ae için $\omega\in\Omega$. Öyleyse, \ begin {hizala *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {normal koşullu dağılımlarda belirtilen sonuçtan;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ sağ) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {tarafından standart Hölder eşitsizliği} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ sağ] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {atıfta bulunulan sonuca göre ve şunun görüntü ölçü özelliklerini kullanarak$\kappa_{X,\mathcal F}$ ve $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {hizala *}

Answer 2

İle başlamaya ne dersin? $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$

Eğer $Z$ dır-dir $\mathcal F$ ölçülebilir, o zaman $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$

Sıfır ve sonsuzluk sorunlarından kaçınmak için önce şunu uygulayın: $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$ve benzer şekilde $Y$ve sonra izin ver $\epsilon \to 0+$, ve $N \to \infty$.

Elbette, başlangıçta Young eşitsizliğini yaptığınızda, düzenli koşullu dağılımın tanıtılması hiçbir amaca hizmet etmeyen ekstra bir adımdır.

Answer 3

Tekrar söylüyorum, sorunuzu cevaplamıyorum. Ancak bu, yorumlar için çok büyük.

Standart Holder'ın eşitsizliğini kanıtlarken, aslında Young'ın eşitsizliğini şu biçimde kullanıyoruz: herhangi biri için $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ nereden alıyorsun $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Sonra şunu kullanırsınız: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Bu sadece eşitlik koşullarını Young'ın eşitsizliğine sokmaktır.) Holder'ın eşitsizliğinin koşullu biçimini kanıtlarken, infimum üstlenilecektir. $\lambda$ bir pozitif $\mathcal F$ölçülebilir fonksiyon.

Ancak bunun söylediği şey, eğer koşullu düzenli dağılımları kullanmak istiyorsanız, yukarıda yazdığım Young eşitsizliği formunu gerçekten kullanmalısınız.