Her harf en fazla kullanılabiliyorsa dört harfli kaç kelime oluşturulabilir $2$ zamanlar?

Question

Beş mektubun var $A, B, C, D$ ve $E$. Her bir harf en fazla kullanılabilseydi dört harfli kaç kelime oluşturulabilir?$2$zamanlar? (kelimede bir harf belirir$0, 1$ veya $2$ zamanlar.)

denedim $5\cdot4\cdot3\cdot3$ ve sonra pozisyonların $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Ancak, bu bölünmelidir$2$ Çünkü $A~A~\_~\_$ ve $A~A~\_~\_$aynı sonuçlardır. Ama aldığım cevap doğru değildi. Anahtara göre doğru cevap:$540$.

Answer 1

İle $5$ mektuplar yapabilirsin $5^4$ dört harfli kelimeler.

Ama bu sözler arasında

• dört kez tekrarlanan tek harfli olanlar var (belli ki $5$ bu tür kelimeler);
• ve üç kez tekrarlanan harfli kelimeler var. Var$5 \times 4 \times 4$ bu tür kelimeler (gerçekten de üçlü harfi seçmelisiniz - $5$ olasılıklar, diğer mektup - $4$ olasılıklar kaldı ve son olarak diğer mektubun yeri - $4$ olanaklar).

Yani saymak istediğiniz toplam kelime sayısı $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Olası üç durum vardır.

1. Tüm harfler farklıdır

Sevmek ($A, B, C, D$). Seçme$4$ mektuplar $5$ ve onları düzenlemek verir $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ yollar.

2. İki farklı ve iki aynı

(Sevmek $A,B,C,C$). Seçme$3$ mektuplar $5$ ve tekrar bunlardan birini seçmek $3$ dördüncü harf olarak harflerin düzenlenmesi: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ yollar.

3. Yalnızca iki farklı harf

(Sevmek $A,A,C,C$). Seçme$2$ mektuplar $5$ mektuplar ve düzenleme verir $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ yollar.

Bunların hepsini eklemek bize verir $540$.