Noktadan çizilen iki teğet arasındaki açıyı bulun $(0, -2)$ eğriye $y=x^2$

Question

Noktadan çizilen iki teğet arasındaki açıyı bulun $(0, -2)$ eğriye $y=x^2$.

Bu benim girişimi:
Let$P(\alpha, \beta)$ eğri üzerinde bir nokta olun. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ P'deki tanjant denklemi: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ bu denklemi tatmin etmelidir. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Şimdi eğimi bulmak için bu değerleri koyuyoruz$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Biliyoruz ki $\theta$= çizgiler arasındaki açı ve $m_1\quad\&\quad m_2$ çizgilerin eğimi: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

Cevabım kitapla uyuşmuyor. Kitap çok takdir edilen bir kitap, bu yüzden yanlış olamaz. Çözümümde bir hata bulamıyorum. Kitap cevabı şöyle ifade ediyor:$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Düzenleme: Kitap aslında cevabını şöyle ifade ediyor :$\pi - 2\arctan\sqrt8$. 2'yi göremeyen kör bendim .

Answer 1

Bence kitabınızda iki hata var.

İlk olarak, $\theta$ dar açı olmalıdır çünkü teğetler arasındaki açı hakkında diyoruz ve teğetlerin segmentleri hakkında söylemiyoruz, ancak $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Ayrıca cevabın $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ doğru ve hatta $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Düzeltmenizden sonra bunu kanıtlamamız gerekiyor $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ bu doğru çünkü $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

Answer 2

Zaten türetmiş olduğunuz gibi, $x$Eğri üzerindeki iki noktanın değerleri $-\sqrt2$ ve $\sqrt2$ (ilgili $y$-değeri $2$).

"Doğru teğete" bir göz atalım $\big($-de $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Tanjantın eğimi $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ olduğundan , $ x $ ekseniyle bu teğet arasındaki açı $ \ arctan \ sqrt8 $ olur . Bu nedenle, bu teğet ile $ y $ ekseni arasındaki açı $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ 'dır . Son olarak, bu açının iki katı, iki teğet arasındaki açıdır, ki bu gerçekten $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ şeklindedir .