Optimum taşımada yer değiştirme interpolasyonunun kararlılığı

Question

İzin Vermek $(X,d)$ tamamen ayrılabilir bir metrik uzay olsun ve $(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ olasılık ölçülerinin uzayı olmak $X$2-Wasserstein mesafesi ile donatılmış sonlu saniye anları ile. Ayrık ölçümlerin içeride yoğun olduğu bilinmektedir.$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ - yani, herhangi bir $\mu \in \mathcal{P}_2 (X)$, ve $\delta>0$ayrı bir ölçü bulabilir $\mu_\delta$ ile $W_2 (\mu, \mu_\delta)<\delta$.

Şimdi izin ver $\mu_0, \mu_1 \in \mathcal{P}_2 (X)$ve izin ver $\mu_t$ olmak $W_2$ jeodezik bağlantı $\mu_0$ ve $\mu_1$ (diğer adıyla $\mu_t$ arasında [mutlaka benzersiz değildir] yer değiştirme enterpolasyonudur $\mu_0$ ve $\mu_1$). Yer değiştirme enterpolasyonu ayrık yaklaşım altında kararlı mı? Yani, biri ayrı seçilebilir mi?$\mu_{0,n}, \mu_{1,n}$ öyle ki $\mu_{t,n}$ yakın $\mu_t$ hepsi için $t\in[0,1]$?

Answer 1

Yer değiştirme enterpolasyonu $\mu_t$Wasserstein Geodesics'in benzersiz olmaması nedeniyle önceden sabitlenmemelidir . Bu nedenle, doğru soru şu olmalıdır: yaklaşık dizileri düzeltin$(\mu_{0,n}),(\mu_{1,n})$ ve $W_2$ jeodezik $\mu_{t,n}$Mevcutsa ve sormak birini $\mu_t$ yakın $\mu_{t,n}$ için $t \in [0,1]$.