Spivak Calculus'tan Riemann Toplamlarını ispatlayın.

Aug 17 2020

Spivak'ın Analizinde (2008) bir ispat üzerinde çalışıyordum - s. 279 . Aşağıda, kanıtın sorun yaşadığım kısmının bir ekran görüntüsü var.

Sorum, 1,2 ve 3 numaralı adımları doğru bir şekilde birleştirmek. Varmak istiyorum

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

Denklem 2 ile uğraşarak, formda bir şey elde ederdim

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

Aynısı için de olur $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Şimdi bu fikri kullanarak şu şekilde bir şey elde ediyorum:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

İşte benim sorunum, kesin olarak söyleyemem $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Sahip olduğum hiçbir şey böyle ima edemez ve bunun sonucunda şu sonuca varamam$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Bu da kanıtın bu kısmını bitirmeme izin verirdi. Deneyimden kaçırdığım küçük bir cebirsel şey olduğunu biliyorum, ama sanırım zihinsel olarak yorgunum ve görmüyorum. Biraz yardım güzel olurdu.

Yanıtlar

3 Koro Aug 17 2020 at 05:44

İpucu : Denklemi çarpın$(3)$ tarafından $-1$ ve denkleme ekle $(2)$ almak:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
Başka bir deyişle, bizde $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$nereden $|y|\lt \epsilon$

2 Matematleta Aug 17 2020 at 06:06

$(2)$ ve $(3)$ hem toplamın hem de integralin arasında olduğunu ima eder $L(f,P)$ ve $U(f,P)$ dolayısıyla aralarındaki mutlak fark şundan fazla olamaz: $U(f,P)-L(f,P)$ ve tarafından $(1)$ bu son ifade şundan küçüktür: $\epsilon.$