Uzaklık fonksiyonları olasılık ölçülerini ayırır mı?
İzin Vermek $(\Omega,d)$ kompakt bir metrik uzay olmak ve $\mathcal P(\Omega)$Borel olasılık ölçüleri uzayı. İzin Vermek$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ nerede $d_p(x)=d(p,x)$tüm "mesafe görevlilerinin" kümesi olun. Her zamanki gibi düşünebiliriz$D$ üzerinde hareket etmek $\mathcal P(\Omega)$ (veya tam tersi) entegrasyon yoluyla yani $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
Başlık Soru
Yapar $D$ üzerinde hareket etmek $\mathcal P(\Omega)$ entegrasyon ayrı noktalar aracılığıyla?
Veya eşdeğer olarak,
Eğer $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ ve $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ hepsi için $p\in \Omega$, o zaman yapmalı $\mu=\nu$?
Alternatif Formülasyonlar
Soruyu çerçevelemenin birkaç başka yolu da var.
Olasılıklı Formülasyon
Tüm integralleri beklentiler olarak yeniden yazmak, soru haline gelir,
Eğer $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ hepsi için $p\in \Omega$, o zaman yapmalı $\mu=\nu$?
Başka bir deyişle, tüm noktalar için bir noktaya beklenen mesafeyi bilmek ölçüyü belirler mi?
Geometrik Formülasyon
1-Wasserstein mesafesinin şu şekilde verildiğini hatırlayın: $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ nerede $\Gamma(\mu,\nu)$ arasındaki bağlantı kümesidir $\mu$ ve $\nu$ yani Borel olasılık ölçüleri $\Omega\times\Omega$ marjinallerle $\mu$ ve $\nu$sırasıyla. Ürün ölçüsünden beri$\delta_p\otimes\mu$ Dirac delta ölçümü arasındaki benzersiz bağlantıdır $\delta_p$ ve $\mu$bizde var
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
Şimdi soru geometrik olarak şu şekilde ifade edilebilir:
Eğer $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ hepsi için $p\in \Omega$, o zaman yapmalı $\mu=\nu$?
Başka bir deyişle, bilmek $W_1$ en uç noktalara uzaklık $\mathcal P(\Omega)$ olasılık ölçüsünü tamamen belirlediniz mi?
Integral Transform Forumlation
Define mesafe dönüşümü arasında$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ fonksiyon olarak $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ veren $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. Soru şimdi şu şekilde yeniden ifade edilebilir:
Mesafe dönüşümü enjekte edici mi $\mathcal P(\Omega)$?
Dahası, sahip olduğumuz geometrik formülasyon ile $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Zayıf olanı kullanacağız$*$ için topoloji $\mathcal P(\Omega)$ (ile çakışan $W_1$topoloji). Haritadan beri$p\mapsto \delta_p$ gömülüdür $\Omega$ içine $\mathcal P(\Omega)$bunu takip eder $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$süreklidir. Mesafe dönüşümünü şu şekilde belirtin:$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Dan beri$\mathcal P(\Omega)$ kompakt Hausdorff ve $C(\Omega)$ Hausdorff, soruyu şu şekilde yeniden ifade edebiliriz:
Eğer $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ süreklidir, bu bir gömme mi?
Son düşünceler
Bu eşdeğer ifadelerden herhangi biri doğru mu? Maalesef sadece soruyu yeniden formüle edebildim ve net bir kanıt bulamadım, ancak gözden kaçırdığım kolay bir tane olsa şaşırmam. Sorunun geometrik formülasyonu beni buna inanmaya sevk ediyor$D$ gerçekten de ayrı noktaları $\mathcal P(\Omega)$. Bununla birlikte, cevap olumlu ise, o zaman ortaya çıkan güzel özellikleri hissediyorum.$\Phi$bakması kolay bir şey olur. Herhangi bir içgörü takdir edilecektir.
Güncelleme: George Lowther'in zarif 4 noktalı karşı örneği ve Pietro Majer'in olumlu cevabı ışığında$\Omega=[0,1]$, temel metrik uzayının olumlu bir cevap verip vermediğini hangi faktörlerin belirlediğini daha iyi anlamak ilginç olacaktır.
George'un karşı örneği, karşı örneklere genişletilebilir. $\Omega$bir küredir (içsel metrik). Böylece$\Omega$pozitif boyutlu, manifoldlu, bağlantılı, yol bağlantılı, basit bağlantılı vb. olması sorunu ortadan kaldırmayacaktır. Öte yandan, Pietro, yanıtın tekrar olumlu olacağından şüpheleniyor.$\Omega$ Öklid uzayının kompakt dışbükey bir alt kümesidir.
Yanıtlar
Hayır. Varsayalım ki $\Omega$ bir kare içinde düzenlenmiş dört noktadan oluşur, burada bitişik noktaların aralarında 1 mesafe vardır ve zıt noktaların uzaklığı 2'dir. Özellikle, noktalar A, B, C, D olarak etiketlenmişse o zaman \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Örneğin, A, B, C, D, iç çember ölçüsü kullanılarak bir çember etrafında eşit aralıklarla yerleştirilebilir.
İki zıt noktanın her birine 1/2 olasılık ve kalan iki noktaya sıfır olasılık atayan tam olarak iki olasılık ölçüsü vardır. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}Bu iki ölçünün tüm `` uzaklık fonksiyonları '' için aynı integrali verdiğini kontrol edebilirsiniz . Her noktadan ortalama uzaklık her ikisinin altında 1'e eşittir.
Olumlu tarafta, cevap olumludur, eğer $\Omega$ birim aralığıdır $[0,1]$standart mesafesi ile. Bu durumda$\phi_\mu$ dışbükey $1$-Lipschitz işlevi (aslında, aynı zamanda herkes için tanımlanmıştır) $p\in\mathbb{R}$, ile $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ için $p\notin[0,1]$), sol ve sağ türevlerle $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ Böylece $\mu$ tüm aralıklarda, dolayısıyla tüm Borel alt kümelerinde belirlenir.
Tersine, herhangi bir dışbükey işlevin $\phi$yukarıdaki gibi
formda yazılabilir$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ bazı Borel olasılık ölçüsü için $m$ açık $[0,1]$. Bu çünkü$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ negatif olmayan sınırlı bir cadlag fonksiyonudur, dolayısıyla bir Borel olasılık fonksiyonu vardır $m$ öyle ki $g(p)=m(p,1]$nereden $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ yukarıdaki ilişkilerden kolaylıkla takip eder.
Sanırım cevabın da olumlu olduğunu $\Omega$ dışbükey kompakt bir set $\mathbb{R}^n$ Öklid mesafesi ile.