Yüksek mertebeden kovaryant türev zinciri kuralı

Question

İzin Vermek $(M,g)$Riemann manifoldu olabilir. İzin Vermek$\nabla_v$ kovaryant türev olabilir $v$ herkes için yön $v\in T_xM$ve şununla belirt $\nabla^k h$ $(k,0)$yerel koordinatlarda endüktif olarak tanımlanan tensör alanı $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ herhangi bir pürüzsüz işlev için $h$.

Sorum şu: farkı ifade etmenin güzel bir yolu var mı $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?

Karışıklığı önlemek için şu ifadeyi düşünüyorum: $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Bu, formlara uygulanan Riemann eğrilik tensörüne bir şekilde benziyor. Farkı geliştirmeye çalıştım ama tanıdık bir şey göremiyorum. Daha genel olarak (ama belki çok fazla soruyorum), yazmanın güzel bir yolu var mı?$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$

Answer 1

Yazmak $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, nerede $c^1_1$ kasılma, o zaman

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}

Özellikle, herkes için $X, Y$ve Ricci kimliğini kullanarak ,

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}

Böylece

$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$

böylece beklendiği gibi eğrilik terimleri ortaya çıkıyor. Ayrıca bizde$\nabla u$. Genel olarak hesaplanırken$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ farklılaştırmalısın $u$ $k$-times ve Ricci kimliği kullan $k$-zamanlar. Sanırım güzel bir formül olmayacak.