Approximation d'une transformée de Fourier

Jan 03 2021

Supposons la transformée de Fourier $\hat{f}(k)$ (avec $k \in \mathbb{R}^d$) est donnée, et on a l'intention d'obtenir des informations sur son homologue de l'espace de position $f(x)$. Lorsque le calcul analytique de la transformée de Fourier inverse de$\hat{f}(k)$ n'est pas possible, on peut encore être en mesure d'extraire des informations utiles en se spécialisant dans des régions spécifiques de $k$espace; par exemple, en physique statistique, il est souvent habituel d'étudier les propriétés "macroscopiques", par exemple, des fonctions de corrélation, en examinant les$k\to 0$limite de leurs transformées de Fourier. Il me semble qu'un tel processus est quelque peu analogue à regarder la série de Taylor d'une transformée de Fourier , c'est-à-dire \ begin {équation} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {equation} Si l'on tronque cette série puis essaie d'y effectuer la transformation de Fourier inverse,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ dans certains cas, on peut trouver que le résultat diverge comme $k\to\infty$. Cependant, dans de nombreuses théories, et en particulier dans les théories de terrain, il existe une limite supérieure pour$k$qui détermine la portée de validité de cette théorie; une telle coupure résout souvent la divergence possible de la transformée de Fourier inverse.

Question La fonction d'espace de position obtenue à partir de la transformation inverse de la série de Taylor tronquée$\hat{f}_{\rm trunc}$, avec une certaine coupure $\Lambda$, se rapproche de la fonction d'origine$f(x)$dans un sens? sinon, y a-t-il un moyen systématique d'obtenir une telle forme approchée à partir de sa transformée de Fourier$\hat{f}(k)$?

Réponses

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

Lorsque vous tronquez l'expansion de Taylor autour $0$, vous dites que vous êtes intéressé par les modes à longue longueur d'onde. Ce sont souvent les modes qui durent longtemps, de sorte que pendant de longues périodes ils décriront approximativement votre système. Dans l'esprit, c'est comme faire un grainage grossier: vous oubliez la dynamique microscopique rapide et ne retenez que les informations macroscopiques. Dans un sens plus rigoureux, on a$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, donc si l'approximation de votre transformée de Fourier est bonne dans le $L^2$ sens donc ce sera l'approximation de l'espace de position $f(x)$.