$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ et l'infini
Une question:
- Si la définition de $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ et il est non vide, alors cela signifie-t-il que ses éléments appartiennent à l'intersection infinie de $A_n$ ou toute intersection finie de $A_n$ pour tous les nombres naturels?
Pour approfondir, je voudrais montrer ce que je ressens face à cette notation déroutante $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Comprendre l'analyse Steven Abbott
Exemple 1.2.2 dans lequel il définit $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Par récurrence, il est non vide pour chaque intersection finie. Mais une preuve par contradiction peut montrer que lorsqu'elle passe au cas infini , qui utilise la notation$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, c'est un ensemble nul. En d'autres termes, dans cet exemple, cette notation est utilisée pour une intersection infinie.
Théorème 1.4.1 dans lequel il prouve la propriété d'intervalle imbriqué. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Ici, il ne spécifie pas s'il s'agit d'une intersection infinie ou non. Au lieu de cela, il a dit,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Par conséquent, que$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. En d'autres termes, dans cet exemple, cette notation est utilisée pour tout nombre naturel fini
Le théorème 1.5.8 dit si$A_n$ est un ensemble dénombrable pour chaque $n\in N$, puis $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$est dénombrable. En d'autres termes, dans cet exemple, cette notation est utilisée pour une intersection infinie.
Je suis confus par cette notation dans le sens où la notation inclut le signe de l'infini mais sa définition signifie chaque nombre naturel. Par conséquent, chaque fois que je le vois, je ne sais tout simplement pas lequel appliquer.
Dites si je vais dans la direction dans laquelle cela s'applique $\forall n\in N$, alors l'induction devrait fonctionner parce que l'induction fait exactement la même chose! Cependant, cet article suggère le contraire en disant que la notation concerne l'infini .
Très bien, je change de direction dans laquelle il s'agit d'une intersection infinie. Mais dans certains cas, par exemple, celui que j'ai énuméré ci-dessus, d'une manière ou d'une autre, si quelque chose est applicable à tous les nombres naturels, c'est bien de faire partie de cette notation.
Donc en bref, je pense que cette notation a 2 significations contradictoires
- $\forall n\in N$
- Infini
J'ai fait des recherches et posé des questions avant mais je ne comprends toujours pas. Donc je suppose que j'ai quelque chose de tout faux et confus dans certaines définitions.
Réponses
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$est un ensemble. Quel ensemble? L'ensemble de toutes les choses qui appartiennent à chacun des ensembles$A_n$ pour $n\in\Bbb Z^+$. Laisser$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; puis$\bigcap\mathscr{A}$ signifie exactement la même chose. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ est simplement une notation usuelle qui signifie ni plus ni moins que $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, et $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Il n'y a pas$A_\infty$: la $\infty$ est juste un signal que l'indice $n$ est de prendre toutes les valeurs entières positives.
Supposons que pour chaque nombre réel positif $x$ je laisse $I_x$ être l'intervalle ouvert $(-x,x)$. ensuite$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$est l'ensemble de tous les nombres réels appartenant à chacun de ces intervalles ouverts. Si$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, puis
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Comment puis-je savoir? Si$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, puis $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, il y a donc au moins un membre de $\mathscr{I}$ qui ne contient pas $y$, et donc par définition $y$ n'est pas à l'intersection des ensembles de la famille $\mathscr{I}$. D'autre part,$0\in(-x,x)=I_x$ pour chaque $x\in\Bbb R^+$, donc $0$ est à l'intersection$\bigcap\mathscr{I}$.
Dans les deux cas, nous n'avons utilisé l'induction nulle part. Dans le cas des ensembles$A_n$ nous pourrions être en mesure d'utiliser l'induction sur $n$ pour montrer que chacun des ensembles $A_n$ a une propriété $P$, mais nous ne pouvions pas étendre cette induction pour montrer que $\bigcap\mathscr{A}$ a $P$. Nous pourrions d'une manière ou d'une autre utiliser le fait que chaque$A_n$ a la propriété $P$ montrer que $\bigcap\mathscr{A}$ a aussi $P$, mais cela nécessiterait un argument distinct; cela ne ferait pas partie de l'induction. L'argument d'induction dans ce cas prouverait que
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
l'argument séparé montrerait alors, en utilisant ce résultat et d'autres faits, que l'ensemble unique $\bigcap\mathscr{A}$ a la propriété $P$. Vous pourriez appeler cet ensemble$A_\infty$si vous vouliez le faire, mais ce ne serait qu'une étiquette; tu pourrais aussi bien l'appeler$A$, ou $X$, ou même $A_{-1}$, bien que désinvolte, je ne peux pas imaginer pourquoi vous voudriez utiliser cette dernière étiquette.
Dans le cas des ensembles $I_x$ il n'y a aucune possibilité d'utiliser l'induction pour montrer que chaque $I_x$ a une propriété: ces ensembles ne peuvent pas être répertoriés comme $I_1,I_2,I_3$, et ainsi de suite, car ils sont innombrables. On peut encore prouver des choses sur l'ensemble$\bigcap\mathscr{I}$, pourtant. Et nous pourrions lui donner n'importe quelle étiquette pratique.$\bigcap\mathscr{I}$est informatif mais peut-être un peu gênant; Je pourrais choisir de lui donner l'étiquette la plus pratique$I$.
Dans le cas de $\mathscr{A}$ il se trouve qu'il y a une notation habituelle qui utilise le symbole $\infty$, mais c'est simplement une conséquence du fait que les ensembles $A_n$sont indexés par des nombres entiers. Nous faisons exactement le même genre de chose dans l'exemple avec$\mathscr{I}$, mais dans ce cas, il n'est pas possible d'utiliser une limite de $\infty$ à l'intersection, car il n'y a aucun moyen d'indexer les innombrables ensembles $I_x$ par des nombres entiers.