comment det (A) = 0 implique que la solution n'est pas unique? [dupliquer]
Solution de l'équation matricielle Ax = b, où $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$
n'est pas unique, si les vecteurs $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$sont linéairement dépendants. Puis par propriétés du déterminant,$$ \det A=0. $$Cependant, il s'ensuit toujours que si det A = 0, les vecteurs colonnes de A sont linéairement dépendants? Quelqu'un peut-il présenter une preuve?
Réponses
Une preuve possible:
- Supposons que les colonnes soient linéairement indépendantes.
- Convertissez la matrice en une forme d'échelon de colonne, en commençant par la dernière colonne et en remontant.
- Vous savez que le nombre de colonnes linéairement indépendantes est le nombre de colonnes différentes de zéro avec lesquelles vous vous retrouvez. Cependant, comme vous avez supposé que les colonnes sont indépendantes, il n'y a pas de colonne zéro.
- En d'autres termes, vous vous êtes retrouvé avec une matrice triangulaire avec tous les éléments différents de zéro sur la diagonale. Son déterminant est différent de zéro.
- Cependant, les transformations élémentaires que nous utilisons lors de la conversion de la matrice en une forme échelonnée ligne / colonne ne modifient pas la propriété de la diagonale pour qu'elle soit nulle ou non nulle.
- Ainsi, le déterminant était différent de zéro au départ.
Si la première colonne est tout $0$s, clair. Sinon, considérez une ligne avec le premier élément$\ne 0$. Permutez-le pour qu'il devienne la première ligne. Le déterminant est toujours$0$, le système est équivalent au précédent. Maintenant, réduisez tous les éléments de la première colonne, inférieurs à la première ligne. Déterminant encore$0$, système toujours équivalent. Maintenant, regardez la matrice formée en supprimant la première ligne et la première colonne. Le déterminant est$0$. Appliquer l'induction, trouver une solution non nulle$(x_2, \ldots, x_n)$. Maintenant, utilisez la première équation d'origine pour obtenir$x_1$. Nous avons maintenant une solution non nulle pour tout le système.