Confus à propos du produit Tensor des modules R
Dans le livre de Tu sur la géométrie différentielle, il définit d'abord $Free(V\times W)$ comme:
$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ où la somme est finie.
D'après ce que je comprends, la construction ci-dessus est faite de combinaisons formelles et oublie la structure réelle des modules. En d'autres termes, si$v_1+v_2 = v_3$, ce n'est pas vrai que dans $Free(V\times W)$ cette $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$
Maintenant, pour former le produit tensoriel, nous quotientons par le sous-module, $S$ enjambé par des éléments du formulaire: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Ensuite, nous avons une carte du produit au produit tensoriel, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$
Toutefois, si $v_3 = v_1 + v_2$, alors je ne peux pas montrer ça $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ ce qui devrait être le cas si $\otimes$est une
carte bilinéaire d'
homomorphisme de module
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Réponses
Puisque $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ et $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ est défini par $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ la condition $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ nous dit que $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ qui est le même que $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Observez également que les autres relations qui définissent$S$ nous donne \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}
Rappelez-vous que si $M$ est un $R$-module et $S$ est un sous-module de $M$, le quotient $M/S$ est défini par $M/\!\sim$, où $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ Dans ce cas, la classe d'équivalence de $m \in M$ est donné par $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (Par conséquent $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), et nous définissons un $R$-tructure du module dans $M/S$ par $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$
Donc, pour la postérité, je veux rédiger une réponse pour d'autres qui peuvent avoir la même confusion. Comme @KCd l'a précisé, des éléments de$Free(V\times W)$ sont de la forme,
$$\sum r_i(v_i, w_i)$$
Cependant, si nous écrivons un élément particulier de $Free(V\times W)$ comme $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ et $v_3 = v_1 + v_2$ puis $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ En d'autres termes, à l'intérieur de nos parenthèses dans notre notation, nous ne prenons pas de sommes formelles, mais combinons plutôt des éléments du module comme nous le ferions normalement.