Équations différentielles élémentaires, Boyce, section 2.2, exercice 19 (Équations séparables)
L'exercice consiste à résoudre le problème de la valeur initiale :
$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$
On a$\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, et de$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$nous concluons que$$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$Alors:$$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.
Pourquoi la solution est$y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$et pas simplement$y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Qu'est-ce que je fais mal?
Je remercierais toute aide.
Réponses
$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$
Lorsque vous faites cela, vous supposez que$\sin(3y)$est inversible au voisinage de$\frac{ \pi}{2}$. Mais dans chaque boule ouverte centrée sur$\frac{ \pi}{2}$existent des points$a< \frac{ \pi}{2}< b$tel que$\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$à cause du carré dans$cos(x)$. Par conséquent, vous devez être prudent lorsque vous choisissez le domaine de votre solution.
La solution$y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$est valide lorsque$x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$tandis que$y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$est valide lorsque$x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.