Exemple d'isomorphismes d'algèbres de Lie

Question

Je cherche un exemple d'algèbre de Lie isomorphe. 2 algèbres sont isomorphes, s'il existe une fonction linéaire bijective$g_1 \rightarrow g_2$ qui cartographie tout $X,Y \in g_1$ comme $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Donc, 2 algèbres de Lie auxquelles je pourrais penser seraient le produit croisé de ${\rm I\!R}^3$ et l'algèbre de commutation d'un champ vectoriel invariant gauche mais je ne peux pas penser à une fonction qui les mappe comme je l'ai déjà dit.

Answer 1

Exemples, classés approximativement de facile à difficile:

1. Laisser $\mathfrak g$être n'importe quelle algèbre de Lie. La carte d'identité$x \mapsto x$ est un isomorphisme de $\mathfrak g$ à lui-même.

2. Laisser $V$, $W$ être des espaces vectoriels sur un champ $k$, et définissez les crochets Lie sur eux comme $[v_1, v_2] = 0$ et $[w_1,w_2]=0$ pour tous $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Montrer que les algèbres de Lie$V$ et $W$ (avec ces parenthèses) sont isomorphes si et seulement si $V$ et $W$ont la même dimension. (Cela devrait être juste une vérification que vous comprenez les isomorphismes des espaces vectoriels, la base absolue de l'algèbre linéaire.)

3. Laisser $k$ être n'importe quel domaine et $\mathfrak{gl}_n(k)$ l'algèbre de Lie donnée par tous $n \times n$-matrices sur $k$, avec la parenthèse de Lie donnée par le commutateur matriciel $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (où $\cdot$est la multiplication matricielle habituelle). Laisser$g$être tout inversible $n\times n$-matrix sur $k$, c'est-à-dire un élément de $\mathrm{GL}_n(k)$. Montrez que la carte$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ est un isomorphisme de $\mathfrak{gl}_n(k)$à lui-même, c'est-à-dire un auto morphisme de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

4. Laisser $\mathfrak{gl}_n(k)$être comme dans l'exemple précédent. La carte qui envoie chaque matrice à sa transposition négative,$$ A \mapsto -A^T$$ est un isomorphisme de $\mathfrak{gl}_n(k)$à lui-même, c'est-à-dire un auto morphisme de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

5. Laisser $k$ être n'importe quel domaine, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ un bidimensionnel $k$-espace vectoriel avec base $v_1, v_2$ et support de mensonge $[v_1, v_2] = v_2$. Laisser$\mathfrak g_2$ être un autre bidimensionnel $k$-espace vectoriel avec base $w_1,w_2$ et $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Trouver un isomorphisme des algèbres de Lie$\mathfrak g_1$ et $\mathfrak g_2$.

6. Laisser $\mathfrak g_1$ et $\mathfrak g_2$ être comme dans l'exemple précédent, sauf que maintenant le crochet Lie sur $\mathfrak g_2$ est donné par $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ où $c \in k^\times$ et $a \in k$. Trouver à nouveau un isomorphisme$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Pour cet exemple et l'exemple précédent, cf. Classer les algèbres à 1 et 2 dimensions, jusqu'à l'isomorphisme , Comment obtenir un isomorphisme explicite (défini explicitement) entre deux algèbres de Lie non-labiennes de dimension$2$, Deux dimensions algèbre de Lie , deux dimensions algèbre de Lie - Que savons-nous sans savoir le support? )

7. Laisser $k$ être n'importe quel domaine de caractéristique $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ l'algèbre de Lie du sans trace $2 \times 2$-matrices (avec crochet de Lie donné comme dans l'exemple 3). Laisser$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (la "forme fractionnée de $\mathfrak{so}_3$") également avec le crochet de Lie donné par le commutateur matriciel. Trouvez un isomorphisme entre ces deux algèbres de Lie. (Comparez les algèbres de Lie$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ et $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Preuve directe que$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Un isomorphisme explicite entre l'algèbre de mensonge orthogonale tridimensionnelle et l'algèbre de mensonge linéaire spéciale de dimension$3$ et les liens qui s'y trouvent.)

8. Laisser $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (un sous-espace réel tridimensionnel du $2 \times 2$matrices complexes); convainquez-vous que, encore une fois, avec le crochet de Lie donné par le commutateur matriciel (comme dans l'exemple 3), il s'agit d'une algèbre de Lie. Montrer qu'il est isomorphe à$\mathbb R^3, \times$c'est-à-dire l'algèbre de Lie réelle tridimensionnelle avec crochet de Lie donnée par le produit croisé. (Comparez pourquoi y a-t-il un facteur de$2$ dans l'isomorphisme $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Cela semble être ce à quoi vous faites allusion dans la question.)

9. Trouver un isomorphisme entre $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ et la symétrie asymétrique $4\times 4$ matrices sur $\mathbb C$. (Cf. Isomorphisme explicite entre l'algèbre de Lie orthogonale à quatre dimensions et la somme directe d'algèbres de Lie linéaires spéciales de dimension 3. )

10. Trouver un isomorphisme entre la somme directe de asymétrique $3 \times 3$ de vraies matrices avec lui-même, et le$4 \times 4$matrices réelles asymétriques. (Cf. Isomorphisme entre$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ et $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

11. Pour $\mathfrak g$une véritable algèbre de Lie, l' extension / complexification scalaire $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ est une algèbre de Lie complexe avec crochet de Lie donnée par l'extension bilinéaire de $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Facile: montrez que la complexification de$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ est isomorphe à $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Plus difficile: pour$\mathfrak{su}_2$ comme défini dans l'exemple 8, montrer que la complexification $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ est également isomorphe à $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: Montrez que malgré cela, les vraies algèbres de Lie$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ et $\mathfrak{su}_2$ne sont pas isomorphes les uns par rapport aux autres. (Comparez le lien précis entre la complexification de$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ et $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Sont des complexifications de l'algèbre de Lie$\mathfrak g_{\mathbb C}$ équivalent aux structures d'algèbre de Lie sur $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , et probablement bien d'autres.)

Essayez également de rechercher les isomorphismes de l'algèbre de Lie .