Exemple élémentaire pour la forme indéterminée $1^\infty$
Je parle de maths avec un collégien brillant, qui n'a même pas encore vu de logarithmes en classe. (Nous avons réussi à introduire les logs comme l'inverse de l'exponentiation.) Elle est intriguée par cette vidéo et les formes indéterminées. Nous avons discuté de la manière dont "$1^\infty$"est vraiment le même que"$0/0$".
Je voudrais maintenant parler d’un exemple de "$1^\infty$». Malheureusement, chaque exemple que je peux venir avec, et tout ce que je trouve sur Internet, les utilisations qui$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ comme $t\to 0$, qui est soit « un fait bien connu », soit une application de la règle de L'Hospital - que je trouve insatisfaisante.
Existe-t-il un exemple non trivial pour le "$1^\infty$"forme indéterminée (donc, pas seulement $1^t$ pour $t\to\infty$) qui peut être analysé en utilisant uniquement la définition du logarithme comme fonction inverse de l'exponentiation, sans calcul ni faits que j'aurais besoin de sortir d'un chapeau?
Réponses
Qui peut oublier l'exemple classique:
$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?
Si nous nous développons $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ avec le théorème binomial et comparez les termes avec les puissances correspondantes de $1/n$ pour différentes valeurs de $n$, on constate que cette fonction augmente à mesure que $n$ augmente sans limite, mais la fonction est limitée par la série convergente
$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$
La limite est donc garantie d'exister et peut donc être définie comme $e$, dont la règle $[\ln(1+x)]/x\to1$ comme $x\to 0$ suit.
Pourquoi ne pas simplement réparer $k>0$ (par exemple $k=2$) et regardez $(k^{1/n})^n$?
Il est assez clair intuitivement que $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ comme $n\to\infty$; d'autre part, clairement$n\to\infty$ quand $n\to\infty$. Ainsi, vous avez le cas$1^\infty$ qui converge vers $k$ (et pas seulement converge vers $k$mais est constant ), que vous avez choisi arbitrairement pour commencer.
Maintenant, il est facile d'étendre avec $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ ou $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, qui convergent vers $0$ et $\infty$ (dans un certain ordre, tant que $k\ne 1$).
Nous cherchons $f,\,g$ avec $f\to1,\,g\to\infty$, dis comme $x\to0$, de sorte que $f^g$ peut avoir n'importe quelle limite $L\in[0,\,\infty]$ou aucun. Exemples:
- $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ pour $L>1$
- $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ pour $L\in(0,\,1)$
- $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ pour $L=1$
- $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ pour $L=0$
- $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ pour $L=\infty$
- $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ pour $\lim_{x\to0}f^g$ être indéfini.
Le remplacement $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ montre $1^{-\infty}$ fonctionne de la même manière, mais personne ne les répertorie tous séparément.