Exemple élémentaire pour la forme indéterminée $1^\infty$

Dec 31 2020

Je parle de maths avec un collégien brillant, qui n'a même pas encore vu de logarithmes en classe. (Nous avons réussi à introduire les logs comme l'inverse de l'exponentiation.) Elle est intriguée par cette vidéo et les formes indéterminées. Nous avons discuté de la manière dont "$1^\infty$"est vraiment le même que"$0/0$".

Je voudrais maintenant parler d’un exemple de "$1^\infty$». Malheureusement, chaque exemple que je peux venir avec, et tout ce que je trouve sur Internet, les utilisations qui$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ comme $t\to 0$, qui est soit « un fait bien connu », soit une application de la règle de L'Hospital - que je trouve insatisfaisante.

Existe-t-il un exemple non trivial pour le "$1^\infty$"forme indéterminée (donc, pas seulement $1^t$ pour $t\to\infty$) qui peut être analysé en utilisant uniquement la définition du logarithme comme fonction inverse de l'exponentiation, sans calcul ni faits que j'aurais besoin de sortir d'un chapeau?

Réponses

2 OscarLanzi Dec 31 2020 at 21:54

Qui peut oublier l'exemple classique:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Si nous nous développons $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ avec le théorème binomial et comparez les termes avec les puissances correspondantes de $1/n$ pour différentes valeurs de $n$, on constate que cette fonction augmente à mesure que $n$ augmente sans limite, mais la fonction est limitée par la série convergente

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

La limite est donc garantie d'exister et peut donc être définie comme $e$, dont la règle $[\ln(1+x)]/x\to1$ comme $x\to 0$ suit.

5 StinkingBishop Dec 31 2020 at 21:14

Pourquoi ne pas simplement réparer $k>0$ (par exemple $k=2$) et regardez $(k^{1/n})^n$?

Il est assez clair intuitivement que $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ comme $n\to\infty$; d'autre part, clairement$n\to\infty$ quand $n\to\infty$. Ainsi, vous avez le cas$1^\infty$ qui converge vers $k$ (et pas seulement converge vers $k$mais est constant ), que vous avez choisi arbitrairement pour commencer.

Maintenant, il est facile d'étendre avec $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ ou $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, qui convergent vers $0$ et $\infty$ (dans un certain ordre, tant que $k\ne 1$).

3 J.G. Dec 31 2020 at 21:14

Nous cherchons $f,\,g$ avec $f\to1,\,g\to\infty$, dis comme $x\to0$, de sorte que $f^g$ peut avoir n'importe quelle limite $L\in[0,\,\infty]$ou aucun. Exemples:

  • $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ pour $L>1$
  • $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ pour $L\in(0,\,1)$
  • $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ pour $L=1$
  • $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ pour $L=0$
  • $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ pour $L=\infty$
  • $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ pour $\lim_{x\to0}f^g$ être indéfini.

Le remplacement $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ montre $1^{-\infty}$ fonctionne de la même manière, mais personne ne les répertorie tous séparément.