Pouvons-nous conclure que la séquence a $a_n$ tel que $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, et $a_1 \neq 0$ augmente?

Aug 15 2020

Nous avons une séquence infinie $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ Et il est donné que $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (c'est-à-dire que la différence entre les termes suivants augmente et le premier terme ne peut pas être nul)

Pouvons-nous conclure que les valeurs absolues des termes suivants augmentent? C'est peut-on conclure$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Jouer avec les inégalités données dans la question peut nous donner l'information que les termes alternatifs augmentent (en valeur absolue / numérique, laissant $a_1$ à part, c'est-à-dire ne pas comparer $a_1$avec tous les termes mais en se souciant simplement que ce ne soit pas zéro) mais pas les termes consécutifs. Donc, je pense que nous ne pouvons pas conclure que les termes consécutifs augmentent numériquement.

Une réponse explicative est recherchée.

Réponses

2 Chrystomath Aug 15 2020 at 13:47

Considérez la séquence $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$$c_n\in\{+1,-1\}$, et la séquence $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

ensuite $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ augmente, mais en raison du choix aléatoire de $c_i$ on ne sait pas si $a_n$augmente ou diminue. Voici un exemple généré par un choix aléatoire de$c_n$.

4 BrianM.Scott Aug 15 2020 at 13:43

Un contre-exemple suffit et vous pouvez en produire un avec seulement trois termes. Si vous voulez aller un peu plus loin et montrer qu'il n'y a même pas besoin d'un point au-delà duquel les termes augmentent en valeur absolue, vous devez travailler un peu plus dur, mais pas beaucoup. Par exemple, laissez$a_1=1$, et en général laissez

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

pour que vous obteniez la séquence $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; il n'est pas difficile de montrer par induction que dans ce cas$a_{2n-1}=n$ et $a_{2n}=1-n$ pour tous $n\in\Bbb Z^+$. Évidemment$|a_{n+1}-a_n|=n$ pour $n\in\Bbb Z^+$, mais $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ pour $n\in\Bbb Z^+$.