$A/J(A)$è semisemplice come un $A$-modulo, quindi $A$è semisemplice

Question

$A/J(A)$è semisemplice come un$A/J(A)$- o$A$-modulo, quindi$A$è semisemplice.

È anche vero? (dal controesempio gentilmente fornito di seguito non lo è.) Lo sto chiedendo perché ho un corollario del teorema di Weddernburn che dice:

$A$è un$k$-algebra tale che$A/J(A)$è artigiano. Poi i numeri delle classi di isomorfismo della sinistra semplice$A$-modulo e di diritto semplice$A$-i moduli coincidono.

Nella dimostrazione, dice l'autore$J(A/J(A)) = 0$, quindi$A/J(A)$è semisemplice. Il risultato segue dal teorema di Wedderburn.

So che si tratta del teorema di Wedderburn$A$essere un semisemplice$k$-algebra. Quindi ho chiesto questo. Se non è vero, allora come usare il teorema di Wedderburn. Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!

Answer 1

Controesempio:$A=k[x]/x^2$. Nota che$J(A)= xA$e$A/J(A) \simeq k$che ovviamente è semplice come a$k$- e$A$-modulo.

Non dovrebbe essere necessario il teorema di Wedderburn per concludere che un anello artiniano$R$insieme a$J(R)=0$è semisemplice, che in ciò che si delinea sembra essere applicato$R=A/J(A)$.

Quindi l'affermazione sul numero di classi di isomorfismo di moduli semplici deriva dal fatto che per qualsiasi anello$R$esiste una corrispondenza tra semplice$R$-moduli e semplice$R/J(R)$-modules (fondamentalmente perché$J(R)$agisce necessariamente in modo banale su moduli semplici), il che induce una biiezione delle classi di isomorfismo.