Aiuta a comprendere un processo di Poisson

Question

solo uno veloce (presumibilmente). Sto solo cercando di capire alcune cose:

Permettere $N_{t},t\geq 0$essere un processo di conteggio. allora diciamo che un processo di conteggio è un processo di intensità poisson$\lambda$ Se

• le variabili casuali $N_{t+s} - N_{t}$ è indipendente da $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ per tutti $s,t \geq 0$
• La variabile casuale $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Questa definizione è equivalente a: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

che dalla mia comprensione ci dice che il processo può aumentare solo di uno durante ogni fase temporale. (terzo punto elenco). Che la probabilità di aumentare di uno è data dalla nostra intensità moltiplicata per quanto tempo siamo in questo intervallo di tempo. e il secondo punto elenco è ovviamente il nostro complimento.

Quindi, parliamo di tempi di incremento (che credo siano gli stessi dei tempi di mantenimento) $T_{1},T_{2},\cdots$ allora lo diciamo $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Cioè, la prima volta che andiamo al di sopra di un valore specificato (n)

poi i tempi di interarrivo $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Quindi ... dalla mia comprensione allora; $T_{n}$ è il tempo in cui abbiamo contato un numero maggiore di n e $T_{n+1}-T_{n}$ quanto tempo ci è voluto per arrivarci dallo stato precedente?

Se è così, allora diciamo di specificare un processo. dovremmo prendere un valore dal nostro processo di poisson, quindi attendere un periodo di tempo determinato da un processo esponenziale, quindi prendere un valore dal nostro processo di poisson.

così sarà. Valore temporale esponenziale 1: - count 1 - valore temporale esponenziale 2 - count 2 ... e così via.

Answer 1

Nella migliore delle ipotesi è piuttosto impreciso dire "il processo può aumentare solo di uno durante ogni fase temporale", perché

• questo è un processo a tempo continuo, quindi non ci sono "fasi temporali", e
• non esiste un intervallo di tempo così breve che i processi non possano aumentare di più di uno durante quell'intervallo di tempo; piuttosto, l'incremento di più di uno è altamente improbabile, anche in confronto all'evento molto improbabile di un incremento durante un minuscolo intervallo di tempo.

Tuttavia, il processo può aumentare solo di uno alla volta quando aumenta.

Si dovrebbe conoscere la differenza tra due parole diverse: "complimento" (con una "i") e "complemento" (con una "e"). Se dico che il tuo intervento è geniale è un complimento (con una "i"). Il complemento (con una "e") di XYZ è tutto ciò che deve essere aggiunto a XYZ per completarlo . Il fatto che una "e" sia usata nella stessa posizione all'interno della parola sia in "complemento" che in "completo" non è una semplice coincidenza.