Algebra lineare: prodotti interni e basi

Question

Per valutare un Prodotto Interno, utilizziamo le coordinate dei vettori (come facciamo per le Norme) o gli stessi vettori (in senso assoluto)?

Si consideri ad esempio lo spazio dei polinomi fino al 3° grado con base : [1, x, x^2, x^3].

È vero quanto segue? Le coordinate del vettore base "x" in R4 sono: [0 1 0 0]'.

Se definiamo il prodotto interno in questo spazio come un integrale, ho visto che nei prodotti interni dei vettori di base (diciamo x e x^2), vengono utilizzati gli stessi vettori di base e non le loro coordinate.

Grazie

Modifica: penso di essere inciampato perché normalmente sono abituato al Dot Product, dove la base sono generalmente i vettori unitari, quindi le coordinate dei vettori sono solo i vettori stessi.

Answer 1

Se hai una base ordinata$e_1,\dots,e_n$e$v = a_1e_1 + \dots a_ne_n$allora la matrice associata è$[a_1,\dots,a_n]^\top$(diciamo che è un vettore colonna). Quindi per esempio$x = 0e_1 + 1e_2 + 0e_3 + 0e_4$allora è il vettore di coordinate associato$[0,1,0,0]^\top$come dici.

Quindi, se hai un prodotto interno e vuoi descrivere quel prodotto interno in coordinate, formerai la matrice di Gram$G = [\langle e_i, e_j \rangle]_{i,j=1}^n$. Ad esempio se$\langle v, w \rangle = \int_0^1 vw \;dx$Poi abbiamo$$ \langle x^m, x^n \rangle = \frac{1}{1 + m + n} $$

Quindi questo ci dà la matrice di Gram$$G = \begin{bmatrix} 1 & \frac12 & \frac13 & \frac14 \\ \frac12 & \frac13 & \frac14 & \frac15 \\ \frac13 & \frac14 & \frac15 & \frac16 \\ \frac14 & \frac15 & \frac16 & \frac17 \end{bmatrix}. $$Il modo in cui funziona è che se$v, w$sono polinomi, i cui vettori di coordinate chiamo$[v]$e$[w]$poi$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\langle v, w \rangle = [v]^\top G [w].} $$

Per esempio:$$ \langle x, x^2 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} G \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac13 \\ \frac14 \\ \frac15 \\ \frac16 \end{bmatrix} = \frac14. $$

Ricordalo moltiplicando una matrice a destra per$[e_i] = [0,\dots,1,\dots,0]^\top$ti dà il$i$-esima colonna di quella matrice e moltiplicando a sinistra per$[e_i]^\top = [0,\dots,1,\dots,0]$ti dà il$i$-gettare.

Answer 2

Ecco qualcosa che dovresti notare:

Permettere$ V,<,> $essere uno spazio prodotto interno di dimensione finita. E lascia$ B={b_1,b_2,...,b_n} $essere una base ortonormale per$ V $.

Quindi per qualsiasi$ u,v \in V $, firmerò$ <,>_{st} $il prodotto scalare, e ne consegue

$ <u,v> = <[u]_B,[v]_B>_{st} $

In cui si$ [u]_B,[v]_B $indica i vettori di coordinate di$ u $e$ v $rispettivamente dalla base orto-natale.

Nota: questo non è necessariamente vero se la base non è ortonormale.