Algebre Sigma generate
Non sono un matematico, piuttosto prendo su argomenti in movimento, quando ho bisogno di qualcosa per l'argomento che sto studiando nel tempo dato. Quindi mi dispiace se questo è banale per la maggior parte di voi e mi scuso per eventuali errori concettuali che potrei fare nella descrizione - cercherò di essere il più preciso possibile.
Al momento sto studiando la teoria della probabilità, da questo corso: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [ai fini della comprensione del calcolo stocastico per la finanza (Vol. II - S. Shreve)], e mi sono imbattuto in algebre sigma.
Anche se capisco il concetto; se abbiamo un insieme che è una raccolta di sottoinsiemi di Omega (cioè se abbiamo una raccolta di eventi) denotati da F, allora F è una sigma-algebra se soddisfa le seguenti tre condizioni;
- Omega appartiene alla F,
- F è chiuso sotto complementi,
- F è chiuso in unioni numerabili
Fin qui tutto bene e capisco anche le proprietà che derivano dalla definizione nonché come sono derivate. Inoltre so che abbiamo la banale algebra sigma, la più piccola algebra sigma su Omega e la discreta Sigma Algebra, che è l'insieme di potenze di Omega, essendo la più grande algebra sigma su Omega.
Il mio problema è con le algebre sigma generate. Capisco la definizione; Sia A una raccolta arbitraria di sottoinsiemi di Omega, allora sigma (A) è l'algebra sigma generata, generata da A ed è la più piccola algebra sigma contenente A. Inoltre, possiamo trovare la più piccola algebra sigma intersecando tutte le algebre sigma contenenti A , poiché anche l'intersezione delle algebre sigma è un'algebra sigma.
L'ultima parte è quella che non capisco e mi confonde. Capisco che abbiamo il power set di Omega che contiene sicuramente la collezione A - Ma cosa intendiamo esattamente intersecando tutte le algebre sigma contenenti A per trovare quella più piccola contenente A? Significa che se abbiamo un'algebra sigma contenente la raccolta A e un'altra raccolta di sottoinsiemi, B (che è un'algebra sigma contenente A, ma ho capito che non è la più piccola) e la intersechiamo con l'insieme di potenze di Omega, generiamo sigma (A), che è effettivamente il più piccolo e raffinato per rispondere alle domande di cui abbiamo bisogno nel nostro problema? Ma da dove viene esattamente l'algebra sigma più grande (sulle raccolte A e B)?
Se qualcuno potesse fornire una spiegazione più intuitiva o anche meglio fornire un esempio (finito, come un tiro di dado), sarei molto grato.
Molte grazie per il tuo tempo leggendo questo! :)
Risposte
Il punto non è prendere un file $\sigma$-algebra $B$ contenente $A$ e intersecalo con il gruppo di potenza di $\Omega$. (Nota che se$B$è una raccolta di sottoinsiemi di$\Omega$, e $P(\Omega)$ è il set di potenza di $\Omega$, poi $B\cap P(\Omega)=B$. Quindi intersecandosi con il set di potenza di$\Omega$ non fa molto) Il punto è che se ne abbiamo due $\sigma$-algebre $B_1$ e $B_2$ che contengono $A$, poi $B_1\cap B_2$ è anche un file $\sigma$-algebra contenente $A$(esercizio). Inoltre,$B_1\cap B_2$ sarà più piccolo di $B_1$ e $B_2$ (a meno che uno di $B_1$ o $B_2$ contiene l'altro).
Così $\sigma(A)$porta questa idea all'estremo: interseciamo tutto $\sigma$-algebre contenenti $A$. In simboli, lascia$\mathscr{B}$ essere l'insieme di $\sigma$-algebre accese $\Omega$ che contengono $A$. Poi$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Poi$\sigma(A)$ è un $\sigma$-algebra contenente $A$ (esercizio) e se $B$ è un $\sigma$-algebra contenente $A$ poi $\sigma(A)\subseteq B$per definizione. Quindi ha senso chiamare$\sigma(A)$ il più piccolo $\sigma$-algebra contenente $A$, o il $\sigma$-algebra generata da $A$.
Ora chiedi dove sono più grandi $\sigma$-algebre provengono da, e questo dipende molto dall'esempio particolare. In generale, la collezione$\mathscr{B}$sopra potrebbe essere abbastanza complicato. Il massimo che possiamo dire in generale è che ce n'è sempre almeno uno$\sigma$-algebra in $\mathscr{B}$, vale a dire, il set di potenza di $\Omega$.
La costruzione di $\sigma(A)$ descritto sopra è buono per una definizione, ma piuttosto difficile da mettere in pratica perché potrebbe essere difficile o almeno molto tempo per calcolare $\mathscr{B}$. Dato un particolare$A$, se si vuole ottenere una descrizione più esplicita di $\sigma(A)$quindi questo di solito comporta il calcolo di famiglie di insiemi che devono essere in qualsiasi$\sigma$-algebra contenente $A$ finché non trovi una famiglia che è essa stessa una $\sigma$-algebra. Anzi, se riesci a inventare una collezione$B$ il quale è un $\sigma$-algebra contenente $A$ e deve essere contenuto in qualsiasi file $\sigma$-algebra che contiene $A$, quindi ne segue $\sigma(A)=B$.
quando $\Omega$ è finita l'idea della forza bruta è un po 'più ragionevole perché puoi semplicemente iniziare a chiudere $A$ sotto intersezioni e complementi fino a ottenere un'algebra.
Considera, ad esempio, la linea reale e la raccolta di tutti i set a un punto $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Un'algebra sigma contenente questi insiemi è l'insieme di potenze. Un altro è la famiglia di tutti i set numerabili e dei loro complementi. Ce ne sono anche molti altri. Ora prendi gli insiemi comuni a tutte queste algebre sigma. Ciò fornisce l'algebra sigma generata dalla nostra famiglia. In questo caso si tratta di insiemi esattamente numerabili e loro complementi. Motivo: qualsiasi algebra sigma che contiene singleton deve contenere tutti gli insiemi numerabili (poiché sono unioni numerabili di singleton). Deve contenere anche i loro complementi. Quindi la più piccola algebra sigma che contiene tutti i singeltons è esattamente la famiglia di tutti gli insiemi numerabili e dei loro complementi.