Base per $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ implica l'assioma della scelta?

Question

Permettere $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ denota lo spazio vettoriale sopra $\mathbb{R}$di successioni di numeri reali, con moltiplicazione e addizione definite per componente. È risaputo che sebbene il subspazio$\mathbb{R}^\infty$ di sequenze con solo un numero finito di termini diverso da zero ha una base $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, questa non è una base di $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (esprimendo la sequenza costante $(1, 1, 1, \ldots)$ richiederebbe una somma infinita $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, e le somme infinite in spazi vettoriali generici non sono definite). È stato anche dimostrato che l'affermazione che tutti gli spazi vettoriali hanno una base è equivalente all'assioma di scelta.

Mi interessa, però, lo spazio specifico $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. È stato dimostrato che una base per questo insieme richiede l'assioma della scelta e non può essere descritto esplicitamente? Questa non è una domanda per i compiti o altro; Sono solo curioso.

Answer 1

Nessun singolo insieme concreto che ammette una certa proprietà implicherebbe l'assioma della scelta. Periodo. L'assioma della scelta è un'affermazione globale e le affermazioni su un insieme con una certa proprietà sono locali (non sto parlando di un'affermazione globale, ad es. "Per ogni insieme$A$, $A\times X$ può essere ben ordinato "implica l'assioma di scelta per ogni insieme fisso $X$, questo è barare).

Possiamo sempre avere l'assioma della scelta che fallisce, tanto quanto vogliamo che fallisca, mentre i numeri reali, e ogni insieme a cui t'importa, possono essere ben ordinati in modo che tutti gli spazi vettoriali "che contano" abbiano un base. In altre parole, l'assioma della scelta è un'affermazione globale, quindi la sua negazione non riguarda un insieme. Si tratta dell'esistenza di un controesempio.

(In realtà non sappiamo nemmeno se esiste un campo $F$ tale che "Tutti gli spazi vettoriali sono finiti $F$ avere una base "implica l'assioma della scelta; parlare di affermazioni globali mascherate da affermazioni locali.)

D'altra parte, è coerente che ogni insieme di reali abbia la proprietà Baire, il che implica che ogni lineare $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$è continuo. Ahimè, essendo uno spazio separabile, ci può essere solo$2^{\aleph_0}$funzioni continue; ma possiamo facilmente dimostrare che una base di$\Bbb{R^N}$ deve avere dimensioni $2^{\aleph_0}$ pure, e quindi ci sarebbe $2^{2^{\aleph_0}}$funzioni lineari appena indotte da permutazioni di tale base. E così, in effetti, se tutti gli insiemi di reali hanno la proprietà Baire, nessuna base per$\Bbb{R^N}$ può esistere.