Calcolo integrale, infinitesimale

Sep 05 2020

Per integrare $y=f(x)$ a partire dal $a$ per $b$ suddividiamo la funzione in piccoli rettangoli di larghezza $dx$. Così la$n$-th rettangolo sarà a una distanza di $n\,dx$ a partire dal $a$ sul $x$-asse. Lascia che ci sia$t$ rettangoli tra $a$ e $b$. Perciò$b=a+t\,dx$. Ma$t\,dx$ sarà molto piccolo per qualsiasi intero positivo $t$a causa delle proprietà di Infinitesimals. Quindi come potrà mai arrivare$b$? Ho qualche idea sbagliata riguardo al calcolo e agli infinitesimi?

Risposte

11 Joe Sep 05 2020 at 13:42

Nel suo libro Infinite Powers , Steven Strogatz menziona esattamente questo problema che stai descrivendo. Considera la differenza tra "infinito completato" e "infinito potenziale". Affronterò presto il tuo problema specifico, ma prima descriverò un problema simile che aiuta a individuare cosa sta succedendo.

Come sai, la divisione per zero non è consentita in matematica. Tuttavia, molte persone condividono la falsa convinzione che$$ 1/0 = \infty $$Perchè è questo? Un matematico esperto potrebbe insultare l'affermazione di cui sopra, ma in realtà è molto plausibile; sbagliato , ma plausibile. Guarda questo:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Come $x$ approcci $0$, $1/x$ si avvicina all'infinito. Perciò,$1/0=\infty$. Ma aspetta, non è quello che abbiamo mostrato. Quello che abbiamo mostrato è che come$x$ si avvicina sempre di più a $0$, $1/x$diventa sempre più grande. Esiste una distinzione cruciale tra queste due affermazioni che viene spesso ignorata nei corsi introduttivi di calcolo. Una volta arrivato al caso$1/0$, emergono tutti i tipi di paradossi, e quindi è per una buona ragione $1/0$è indefinito . Tuttavia, considerando cosa$1/0$può o non può essere non è un esercizio del tutto infruttuoso. Al contrario, potrebbe rivelarci uno degli strumenti più importanti del calcolo: il limite. Diamo un'occhiata al grafico di$y=1/x$:

Come puoi vedere,$1/x$ spara in lontananza come $x$ si avvicina sempre di più a $0$. Non possiamo dire cosa$1/0$ è ; quello che possiamo dire è che come$x$ si avvicina sempre di più a $0$, $1/x$diventa sempre più grande. Questo è formalmente scritto come$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Ma aspetta, neanche questo è del tutto corretto! $1/x$ si avvicina all'infinito * solo quando $x$ approcci $0$dalla fine positiva. Cosa succede se$x$ è un numero negativo che si avvicina sempre di più $0$? Poi,$1/x$ approcci $-$infinito. Forse potremmo scriverlo$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$ma ai matematici piace che i limiti abbiano un valore unico e definito. Pertanto, entrambe le affermazioni di cui sopra sono errate e ciò che dovremmo scrivere è questo:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (Il piccolo '$+$'proprio accanto al $0$ indica che stiamo considerando il caso in cui $x$ è un numero positivo che si sta avvicinando $0$. Allo stesso modo, il '$-$' si intende $x$ è un numero negativo che si sta avvicinando $0$.)

Non preoccuparti se tutti i piccoli dettagli non hanno senso per te. Prova solo a ricordare questi due fatti chiave:

Nel calcolo, i matematici lavorano con i limiti .
Quando si tenta di calcolare limiti come $1/x$ come $x$ approcci $0$, il fatto che $1/0$non è definito non è né qui né là. Non stiamo cercando di capire cosa succede quando "arriviamo a zero". Piuttosto, stiamo guardando a ciò che accade mentre ci avviciniamo sempre di più a$0$, sia dalla direzione positiva che negativa. **

Ora confrontiamo ciò che abbiamo imparato sui limiti con ciò che pensiamo di sapere sugli infinitesimi. Il problema più grande con il concetto di infinitesimale nella mia mente è che suggeriscono che esiste un "numero più piccolo possibile". In realtà, quando lavoriamo con i numeri reali standard, non esiste nulla di simile. Questo dovrebbe essere intuitivamente ovvio: per quanto in basso tu vada, puoi sempre andare più in basso. Potresti anche essere in sintonia con l'idea che$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Di nuovo, questo è problematico, anche perché tratta l'infinito come se fosse un numero. Pertanto, dovremmo essere estremamente cauti quando qualcuno menziona le parole "infinitesimale" o "infinitamente piccolo". Spesso quando lo fanno, usano questi termini come una semplice scorciatoia per i limiti con cui abbiamo lavorato in precedenza. Ad esempio, se scrivo 'come$x$ diventa infinitamente piccolo, $1/x$diventa infinitamente grande ', quindi questo sarebbe piuttosto sciatto, ma sarebbe anche generalmente compreso da chi è esperto nei fondamenti del calcolo. (Vorrei tuttavia mettere in guardia contro l'uso di tale linguaggio.)

Altre volte, quando si parla di infinitesimi, si parla di analisi non standard, in cui l'idea di infinitesimale è formalizzata. Ma non lasciamoci distrarre. Per quanto mi riguarda, gli "infinitesimi" non esistono. Questo dovrebbe essere anche il tuo punto di vista. Sebbene gli infinitesimi possano essere intuitivamente attraenti, dovremmo sempre confermare che le nostre intuizioni sono in linea con la realtà. Altrimenti, stiamo cercando guai.

Infine, arriviamo alla tua domanda. Se ho capito bene, mi stai chiedendo informazioni$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Come hai già correttamente sottolineato, gli integrali si basano sulla divisione di una curva in molti piccoli rettangoli, ciascuno con una certa larghezza. Chiamiamo questa larghezza$\Delta x$. Possiamo approssimare l'area sotto il grafico come$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Non disperare se l'espressione di cui sopra ti sembra poco familiare. Significa solo che ogni rettangolo ha una larghezza fissa$\Delta x$. La lunghezza di ogni rettangolo dipende dall'altezza della curva in ogni punto, ecco perché la lunghezza è$f(x)$, dove $x$ è una variabile che va da $a$ per $b$. E, naturalmente, l'approssimazione deriva dalla somma delle aree dei rettangoli. Per visualizzarlo, ecco un'animazione tratta da Wikipedia:

Come suggerisce giustamente l'animazione, le approssimazioni diventano migliori come$\Delta x$ approcci $0$. Qui è dove$dx$Si può immaginare che se i rettangoli hanno una larghezza infinitamente piccola, i rettangoli avranno l'area esattamente giusta. Storicamente,$dx$ è stato infatti utilizzato in questo modo per rappresentare un cambiamento infinitesimale in $x$. Tuttavia, i moderni standard di rigore hanno reso questa interpretazione di$dx$in gran parte obsoleto. A causa di tutti i paradossi che possono creare, è meglio evitare gli infinitesimi nella matematica formale, almeno nel contesto del calcolo "standard". Anziché,$dx$dovrebbe essere visto come parte di una scorciatoia per un'espressione limite. Ad esempio, if$y=f(x)$, poi $dy/dx$ è una scorciatoia per $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$In questo caso di integrali, possiamo immaginare che$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ rappresenta la somma di infiniti rettangoli infinitamente piccoli di larghezza $dx$. Ma anche solo scrivere questo mi fa rabbrividire. Il fatto che il numero di rettangoli diventi sempre più grande non significa che ci siano infiniti rettangoli (da qui la differenza tra "infinito potenziale" e "infinito effettivo"). E a giudicare dai sentimenti che hai espresso nella tua domanda, gli infinitesimi potrebbero non essere l'approccio giusto per te. Hai perfettamente ragione sull'apparente paradosso che si crea se interpretiamo la larghezza di ogni rettangolo come veramente "infinitesimale". La definizione formale di un integrale elude completamente questo problema definendo$\int_a^b f(x) \, dx$come limite della somma delle aree dei rettangoli come$\Delta x$ approcci $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Sembra che sia emerso uno schema. Ogni volta che ti sorprendi a pensare agli infinitesimi, pensa ai limiti! Non hai bisogno di buttare la tua intuizione dalla finestra: se trovi gli infinitesimi utili per costruire la tua immagine mentale del calcolo, allora non sarebbe saggio per te eliminarli. Allo stesso modo, però, non dimenticare mai cosa sta realmente accadendo.

* Fai attenzione alla frase "si avvicina all'infinito". Questo ha un significato molto diverso da "avvicinamento"$5$', diciamo. Se dico$x$ si sta avvicinando all'infinito, quindi tutto ciò che voglio dire è questo $x$sta diventando sempre più grande. Questo è tutto.

** In questo caso particolare, il limite "non esiste", poiché si ottengono due risposte diverse: $+\infty$ e $-\infty$, a seconda che ci avviciniamo $0$da "sopra" o "sotto". Pertanto, dobbiamo limitarci a considerare il caso in cui$x$ approcci $0$ esclusivamente dall'estremità positiva, o esclusivamente dall'estremità negativa.