Calcolo stocastico: limite superiore dato deriva e diffusione di Lipschitz

Question

Al momento sono bloccato sul seguente problema. Considera la SDE $$\text{d}X_t=\sigma(X_t)\text{d}W_t+\mu(X_t)\text{d}t,$$ con $|\mu(x)|^2+|\sigma(x)|^2\leq A(1+|x|^2)$, dove $A$ è una costante finita, $X_0=0$, e i termini di deriva e diffusione sono funzioni di Lipschitz.

Ho bisogno di dimostrarlo

• $\mathbb{E}\sup_{t\leq1}|X_t|^2\leq\text{e}^{8A}$,

• la soluzione $\{X_t\}_{t\leq1}$ esiste anche se i termini di deriva e diffusione sono solo localmente Lipschitz.

Sono così confuso, non so come iniziare! Ho fissato https://math.stackexchange.com/questions/3251957/calculating-the-expecation-of-the-supremum-of-absolute-value-of-a-brownian-motio nella speranza di migliorare intuizione, ma mi sono perso - qualcuno potrebbe guidarmi nella giusta direzione per favore? Grazie!

Answer 1

La soluzione soddisfa $$x_t = \int_0^t \mu(X_u)du + \int_0^t \sigma(X_u)dW_u.$$ Utilizzando la disuguaglianza $|a+b+c|^2 \leq 3|a|^2+3|b|^2+3|c|^2,$ noi abbiamo $$|X_t|^2 \leq 3 \left|\int_0^t \mu(X_u)du \right|^2 + 3 \left| \int_0^t \sigma(X_u)dW_u \right|^2.$$ Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz il primo integrale sopra sazia $$\left|\int_0^t \mu(X_u)du \right|^2 \leq t \int_0^t \mu^2(X_u)du.$$ Quindi, \ begin {equation} \ tag {1} E \ sup_ {t \ le 1} | x_t | ^ 2 \ le 3 \ left | \ int_0 ^ 1 \ mu ^ 2 (X_u) du \ right | ^ 2 + 3E \ sup_ {t \ leq 1} \ left | \ int_0 ^ t \ sigma (X_u) dW_u \ right | ^ 2. \ end {equation} In base alla disuguaglianza della martingala di Doob e successivamente all'isometria Ito, il secondo integrale dell'equazione (1) soddisfa \ begin {equation} \ tag {2} E \ sup_ {t \ leq 1} \ left | \ int_0 ^ t \ sigma (X_u) dW_u \ destra | ^ 2 \ leq 4E \ sinistra | \ int_0 ^ 1 \ sigma (X_u) dW_u \ right | ^ 2 = 4E \ int_0 ^ 1 \ sigma ^ 2 (X_u) du. \ end {equation} Inserendo (2) in (1) e usando la condizione di crescita lineare (data nel problema), abbiamo $$E \sup_{t \le 1} |x_t|^2 \leq 3E\int_0^1\mu^2(X_u)du +12E\int_0^1\sigma^2(X_u)du \leq 12AE\int_0^1 (1+ |X_u|^2)du. $$ Così $$1+ E \sup_{t \le 1} |x_t|^2 \leq 1+ 12AE\int_0^1 (1+ |X_u|^2)du$$ e dalla disuguaglianza di Gronwall $$E \sup_{t \le 1} |x_t|^2 \leq e^{12A}.$$