Capire il conteggio eccessivo

Question

Sto cercando di capire come regolare il conteggio eccessivo. Trovo che il seguente esempio sia molto difficile da capire, cioè capisco tutte le parole e il loro significato, ma faccio fatica a sentirmi "convinto".

Mostra che:

$$\frac{(2 n) !}{2^{n} \cdot n !}=(2 n-1)(2 n-3) \cdots 3 \cdot 1$$

Spiegazione intuitiva (tramite una storia) fornita dal libro di testo:

\ begin {array} {l} \ text {Mostreremo che entrambe le parti contano il numero di modi per spezzare} 2 n \\ \ text {persone in} n \ text {partnership. Prendi} 2 n \ text {persone e dai loro i numeri ID da} 1 \ text {a} \\ 2 n \ text {. Possiamo formare delle partnership allineando le persone in un certo ordine e poi dicendo} \\ \ text {i primi due sono una coppia, i prossimi due sono una coppia, ecc. Questo conta di un fattore} \\ \ text {di} n! \ cdot 2 ^ {n} \ text {poiché l'ordine delle coppie non ha importanza, né l'ordine all'interno di ciascuna coppia} \\ \ text {. In alternativa, conta il numero di possibilità notando che ci sono} 2 n-1 \\ \ text {scelte per il partner della persona} 1, \ text {poi} 2 n-3 \ text {scelte per la persona} 2 \ text {(o person} 3, \ text {if} \\ \ text {person} 2 \ text {era già accoppiato a person} 1 \ text {) e così via. } \ end {array}

Qualcuno può spiegarmi 1) perché il fattore è $n! \cdot 2^n$ e 2) come viene derivata la RHS?

Answer 1

La prima parte dice se diciamo ABCDEF, allora (AB) (CD) (EF) = (BA) (CD) (EF), e anche (AB) (CD) (EF) = (CD) (AB) ( EF), con l'esistenza $2^n$ variazioni del primo tipo e $n!$ variazioni della seconda.

Poi abbiamo anche $A$ può essere collaborato con $BCDEF$, quindi persona misteriosa $x$ può essere associato con il resto $3$, eccetera. .

E $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{8\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = 5\cdot3\cdot1$.