Chiusura di questo set in aggiunta

Question

Definire $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

Come faccio a dimostrare che questo set è chiuso per addizione puntuale?

Permettere $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ essere due sequenze con le loro serie associate convergenti a $L_1 := \sum {x_n}^2$ e $L_2 := \sum {y_n}^2$. Come faccio a dimostrare che la serie associata a$(x_n + y_n)_n$ converge anche tu?

Finora posso ragionare $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$, ma come vado da qui?

Answer 1

Suggerimento

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

Dato quello che hai fatto, ciò che resta da dimostrare è questo $\sum {x_n y_n}$è convergente. Per fare ciò, è necessaria una qualche forma di disuguaglianza di Cauchy Swartz e affermare quanto segue:$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ Questa disuguaglianza è talvolta chiamata AM-GM e, possiamo dedurne la somma $\sum {|x_n y_n|}$è convergente. Quindi il dum in questione è assolutamente convergente.

Answer 3

Un modo migliore sarebbe usare il fatto che $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ così $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. Ciò evita la disuguaglianza CS.