Coefficienti / somme binomiali [duplicato]

Question

Ho bisogno di aiuto per risolvere questo compito, quindi se qualcuno avesse un problema simile mi aiuterebbe.

$\sum\limits_{k=m}^{n}{n \choose k}{k \choose m}={n \choose m}2^{n-m}$

Ho provato questo:

$\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{n!k!}{k!(n-k)!m!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{n!}{(n-k)!m!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\frac{n!}{m!}\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{1}{(n-k)!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}$

Cambio $z=k-m\rightarrow k=z+m$

$\frac{n!}{m!}\sum\limits_{z=0}^{n-m}\frac{1}{(n-(z+m))!(z+m-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\frac{n!}{m!}\sum\limits_{z=0}^{n-m}\frac{1}{(n-z-m)!z!}={n \choose m}2^{n-m}$

E ora con questa parte non so cosa fare dopo. Ho provato qualcosa in questo modo.

$\frac{1}{(n-m)!}+\frac{1}{(n-1-m)!}+...+\frac{1}{n-m}!={n \choose m}2^{n-m}$

Ma ora non so come calcolare l'espressione sul lato sinistro.

Grazie in anticipo !

Answer 1

Quasi lì! $$\frac {n!}{m!} \sum_{z=0}^{n-m} \frac 1{(n-z-m)!z!}=\frac {n!} {(n-m)!m!} \sum_{z=0}^{n-m} \frac {(n-m)!}{(n-m-z)!z!} = \binom n m \sum_{z=0}^{n-m}\binom {n-m}z = \binom n m 2^{n-m}$$