Combinatoria - La scelta dei bastoni

Question

Sette bastoncini con lunghezze di 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 pollici vengono inseriti in una scatola. Tre dei bastoncini vengono selezionati in modo casuale. Qual è la probabilità che si possa formare un triangolo unendo le estremità dei bastoncini? Esprimi la tua risposta come una frazione comune.

Il mio lavoro: ho contato usando la disuguaglianza triangolare$9$ modi per scegliere i bastoncini: $(3,5,7) ; (3, 11, 13) ; (5,7,11) ; (5,11,13); (5,13,17); (7,11,13); (7,11,17); (7,13,17) ;(11,13,17) $.

La mia domanda: non sono sicuro di come contare il numero totale di modi per scegliere le bacchette. Sta scegliendo$(3,5,7)$ lo stesso che scegliere $(5,3,7)$, per esempio, o contano come modi distinti per disegnare?

Answer 1

Per il primo bastone, hai $7$opzioni. Per il secondo e il terzo, hai$6$ e $5$opzioni rispettivamente. Ciò significa che puoi scegliere$3$ bastoni dal $7$ nel $7*6*5=210$modi. Solo$9*(3*2*1)=54$ di questi portano al risultato desiderato, quindi la probabilità sarebbe $\frac{54}{210}=0.257...$

Come altri hanno sottolineato, puoi prendere in considerazione l'ordine o meno, purché lo fai di conseguenza nei tuoi calcoli. Se vedi diversi ordini di set dello stesso bastone come equivalenti, il numero di modi per scegliere$3$ bastoni da $7$ è infatti $\binom{7}{3}=35$ o $7$ scegliere $3$. Poi,$\frac{9}{35}=\frac{54}{210}=0.257...$