Come risolvere $\cos x-\sin 3x=\cos 2x$?

Question

Il mio tentativo:

$$\begin{align} (\cos x- \cos 2x) - \sin 3x &= 0 \\ 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}&=0\\ \sin\frac{3x} {2} \left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)&=0 \end{align}$$

Adesso neanche $\sin\frac{3x} {2} = 0$ o $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$. Risolvendo per il primo,$$\frac{3x}{2}=n\pi\rightarrow x = \frac{2n\pi}{3}$$

Come posso risolvere $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$? Conosco le identità elementari che coinvolgono i rapporti trigonometrici, ma non i numeri complessi o il calcolo.

Answer 1

abbiamo $\sin\frac12x=\cos\frac32x=\sin(\frac12\pi-\frac32x)$. La soluzione generale a questo è$$\tfrac12x=n\pi+(-1)^n(\tfrac12\pi-\tfrac32x)\quad (n\in\Bbb Z).$$I casi di pari o dispari $n$ quindi dare origine a due serie di soluzioni:$$x=(k+\tfrac14)\pi\quad\text{or}\quad x=(2k-\tfrac12)\pi\quad(k\in\Bbb Z).$$

Answer 2

Penso che tu possa usare il fatto che $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ per tradurre l'equazione in una che coinvolge solo i seni (o coseni) su entrambi i lati, e quindi confrontare direttamente.

Answer 3

Questa è un'equazione elementare $\cos a=\cos b$ sotto copertura: consideralo $\sin a=\cos(\pi/2-a)$. Così ottieni$$ \cos\Bigr(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\Bigr)=\cos\frac{3x}{2} $$ e ottieni le due famiglie di soluzioni $$ \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}+2n\pi \qquad\text{or}\qquad \frac{3x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}+2n\pi $$