Come semplificare questa formula [chiuso]

Question

Ho questa equazione: $\frac{\sqrt{(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(-a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a-b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a+b-\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})}}{4}$

Calcola l'area di un triangolo utilizzando solo 2 lati di un triangolo $a, b$e l'angolo di quei lati, $\gamma$. Combina semplicemente la legge del coseno e la formula di Heron. Esiste un modo per ottenere la stessa funzione ed è possibile semplificare questa equazione?

Answer 1

Permettere $c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$ e $P_1,P_2,P_3,P_4$essere i 4 fattori all'interno della radice quadrata. Avviso

• $P_1 P_4 = (a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2 = 2ab(1+\cos\gamma)$,
• $P_2 P_3 = (-a+b+c)(a-b+c) = c^2-(a-b)^2 = 2ab(1-\cos\gamma)$

abbiamo $$\frac{\sqrt{P_1P_2P_3P_4}}{4} = \frac{\sqrt{(2ab)^2(1-\cos^2\gamma)}}{4} = \frac12 ab\sin\gamma$$

Answer 2

IMHO se hai iniziato con

$A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$ con $s = \frac{a+b+c}{2}$ e usato $\cos \gamma = \frac{a²+b²-c²}{2ab}$ come definito ad esempio qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula

poi ha riscritto la matematica per evitare di usare $c$ scrivendolo in funzione di $a$, $b$ e $ \gamma $dovrebbe essere corretto e corretto. Hai fatto?