Complemento ortogonale alla funzione continua

Question

Domanda: supponi$C[−1, 1]$ è lo spazio vettoriale delle funzioni continue a valori reali nell'intervallo $[−1, 1]$ con prodotto interno fornito da $\langle f, g\rangle = \int_{a}^b f(x)g(x)dx$

Permettere $U = {f ∈ C[−1, 1] : f(0) = 0}$ essere il sottospazio di $C[−1, 1]$. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? Giustifica la tua risposta.

(un) $C[−1, 1] = U ⊕ U^\bot$

(b) $U^\bot = \{0\}$

(c) $U^\bot$ è un sottospazio appropriato e non banale di $C[−1, 1]$

Difficoltà: sono sicuro che l'opzione (b) sia corretta ma non sono in grado di scriverne una prova. Anche l'opzione (a) è valida per il sottospazio a dimensione finita ma non è corretto.

Answer 1

Suggerimento: se $g \in U^{\perp}$ poi $\int fg=0$ per tutti $f \in U$. Permettere$f_n(x)=g(x)$ per $|x| >\frac1 n$, $f_n(0)=0$ e $f_n$ hanno un grafico a linee rette in formato $[-\frac 1 n ,0]$ così come $[0, \frac 1 n]$. Poi$\int g f_n=0$ e lasciare $n \to \infty$ rendimenti $\int g^{2}=0$. Quindi$g=0$. Questo ha dimostrato b).

È ovvio da (b) che (a) è falso. La funzione costante$1$è in LHS ma non in RHS. (c) risponde anche (b).