Completezza dei TVS degli operatori lineari

Question

Permettere $A$ e $B$ essere due spazi di Banach e considerare lo spazio lineare $\mathbf{Ban}(A, B)$di mappe lineari limitate con topologia di convergenza uniforme su insiemi compatti. Poiché questa topologia è generata dalla famiglia di seminorms$p_K = \sup\{\|Ta|\ \colon a\in K\}$ per $K$ un sottoinsieme compatto di $A$, la topologia è di Hausdorff e localmente convessa. La mia domanda è: è completo? E se questo è noto, qualche riferimento citabile?

Answer 1

Questo in effetti sembra essere più facile di quanto io (non pensassi) come supinf intimi. Schizzo di prova: una rete di Cauchy nella topologia di convergenza uniforme su compacta è Cauchy puntuale quindi ha un limite puntuale. È facile vedere che il limite puntuale è una mappa lineare, e prendendo i limiti puntuali nella condizione di Cauchy, la convergenza a questo limite è uniforme in compacta. Per vedere che il limite è limitato è sufficiente dimostrare che conserva sequenze nulle, ma una successione nulla è un insieme relativamente compatto quindi la conclusione desiderata segue da uno scambio di limiti che è possibile perché la convergenza è uniforme sull'insieme compatto costituito dalla sequenza e la sua$0$ limite.