Comportamento locale di un modulo localizzato in un ideale primo

Question

Permettere $R$ essere un anello commutativo e $p,q$ essere due ideali principali di $R$ con $q\subset p$. Sappiamo$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $come anelli. Permettere$M$ fagiolo $R$-modulo. È vero che$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ come $R_q$-moduli?

Answer 1

Dato $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ e $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, noi abbiamo

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

che mostra l'isomorfismo desiderato.