Comprensione $P_i$ componente principale.

Question

Da Abstract Algebra di Dummit e Foote, dopo aver dimostrato

Dice quanto segue.

In classe, abbiamo definito $N_i$ essere il $p_i$-componente primaria di $M$. Ma ho difficoltà a capire cosa raggruppa tutti i fattori ciclici corrispondenti allo stesso numero primo$p_i$.

La mia ipotesi è che nella decomposizione otteniamo numeri primi $p_1, \ldots p_t$. E tra quelli, ne selezioniamo distinti$p_1, \ldots p_n$. E diciamo$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$? E non è più possibile semplificare?

Grazie.

Answer 1

Hai ragione. Lascia$N_i$ essere la somma diretta di quelle componenti corrispondenti al numero primo $p_i$ (dove il $p_i$sono ora numeri primi distinti ). Non è più possibile semplificare.

Una cosa a cui prestare attenzione: il $N_i$ sono determinati in modo univoco dal gruppo $M$, ma i componenti all'interno di un file $N_i$non sono determinati in modo univoco. Ad esempio, ci sono molti modi per decomporsi$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ come somma diretta di quella forma.