Confronta le tasse Cobb-Douglass e altro ancora

Question

Si definisca una funzione di utilità per un consumatore come $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$. Con il budget$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$. Con valori$p_1=p_2=1, m=32$. Lo stato ora aggiunge una tassa sull'unità 3$p_{1}$ (pr. Unità $x_1$)

Come influisce sull'utilità? Cosa guadagna lo Stato?

• Ho ottenuto l'utilità prima di 16 anni e dopo di 8 con tasse correlate a 12 unità pr $x_1$

Lo stato ora considera un'imposta sul reddito tale che il reddito sia ora $m-T$Quanto guadagnerà lo Stato con il nuovo sistema mantenendo indifferente il consumatore ? Quale sistema è migliore?

• Ho calcolato che ho risolto l'imposta nella funzione di utilità in condizioni di domanda ottimali in modo da mantenere l'utilità pari a 8. Questo mi ha dato 16 unità di imposta sul reddito.

Come si fa matematicamente l'ultima parte. Immagino che l'imposta sul reddito sia migliore per il consumatore, ma come posso dimostrarla matematicamente?

Answer 1

L'intuizione che hai è corretta. Matematicamente puoi dimostrarlo derivando prima le scelte ottimali con l'imposta sul reddito forfettaria. Quindi imposterai la seguente lagrangiana:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Questo ti dà 3 FOC il vincolo di budget e:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Risolvi per ottimale $x_1^*$ e $x_2^*$:

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Dove qui le seconde uguaglianze sfruttano le ipotesi che $p_1 = p_2=1$ e $m=32$.

Ora puoi semplicemente collegarlo alla funzione di utilità e supponendo che non hai commesso alcun errore equipararlo all'utilità con l'imposta sui consumi $p_1$ quindi avrai:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Quindi, sotto il regime dell'imposta sul reddito, il governo ottiene $T=16> t=12$mentre il consumatore ha ancora la stessa utilità dell'imposta sui consumi, il che significa che l'imposta sul reddito è migliore. L'intuizione è che l'imposta sul reddito non distorce i prezzi relativi ha solo un effetto sul reddito mentre l'imposta sui consumi ha sia effetti sul reddito che di sostituzione.