Convertitore D / A con
Sto cercando di capire come considerare la conversione da digitale ad analogico e come considerare il sovracampionamento sulla base di un corso che sto seguendo online e capire la logica alla base di questo. Sfortunatamente c'è molto poco su questo argomento nel libro di testo e non so da dove cominciare.
Si consideri un convertitore D / A per segnali audio costituito da un interpolatore di mantenimento dell'ordine zero seguito da un filtro passa basso a tempo continuo con banda passante positiva tra $0$ e $20 KHz$ e stopband a partire da $f_a=40 KHz $.
Supponiamo di voler convertire un segnale digitale originariamente campionato a $16 KHz$. Qual è il fattore di sovracampionamento minimo che dobbiamo utilizzare?
Sono un po 'bloccato su come vengono influenzate le frequenze della banda passante e la frequenza di campionamento digitale quando si va D / A contro A / D. Quale sarebbe l'approccio per pensare a questo? Sono a conoscenza della frequenza di Nyquist, ma poiché la direzione del digitale-analogico non è completamente analoga (scusate il gioco di parole) all'analogico-digitale quando si pensa al sovracampionamento, non sono sicuro di cosa fare qui.
Risposte
La risposta breve è per qualsiasi segnale digitale lo spettro di frequenza è periodico, ripetendosi a multipli della velocità di campionamento. L'uscita D / A è lo spettro periodico modellato da una risposta Sinc dovuta alla ricostruzione della scala (mantenimento dell'ordine zero), con il primo nullo del Sinc alla frequenza di campionamento. L'intenzione del filtro passa-basso a tempo continuo è di rimuovere queste copie dello spettro che altrimenti sarebbero una fonte di distorsione. Se il segnale è stato originariamente campionato a 16 KHz, ci saranno copie dello spettro audio ad ogni 16 KHz. Se l'uscita DAC ha un filtro che si estende fino a 20 KHz, e inizia a rifiutare a 40 KHz, possiamo supporre che lo spettro analogico sia inferiore a 8 KHz in banda base (a causa della frequenza di campionamento di 16 KHz), e da quello dopo aver letto il i dettagli di seguito dovrebbero essere chiari su quale deve essere la frequenza di campionamento minima per garantire che tutte le repliche a frequenza più alta dello spettro siano maggiori del taglio di 40 KHz del filtro passa basso. Ciò implica che un ricampionamento digitale a una velocità maggiore (con il proprio filtraggio di quelle stesse immagini) sarebbe necessario prima che sia richiesto il DAC.
Dettagli completi di seguito:
La comprensione del PO del processo A / D si applicherebbe qui, con l'effetto aggiuntivo della sospensione dell'ordine zero. Lasciatemi spiegare ciascuno a turno, iniziando da Analogico a Digitale (A / D) e poi passando da Digitale ad Analogico (D / A).
Lo spettro digitale è periodico in frequenza. Qualunque cosa si trovi nella prima zona di Nyquist da cui si estende$-f_s/2$ per $+f_s/2$ (con $f_s$essendo la frequenza di campionamento) si replicherebbe in ogni altra zona di Nyquist, come dettagliato nei diagrammi seguenti che mostrano gli spettri di campionamento che vanno dall'analogico al digitale sia per i segnali reali che per quelli complessi. La periodicità può essere spiegata come segue: Il processo di campionamento è il prodotto di un flusso di impulsi nel tempo con un segnale nel dominio del tempo analogico. La Trasformata di Fourier di un flusso di impulsi nel tempo (impulsi ripetuti nel periodo di campionamento) è un flusso di impulsi in frequenza come dato dagli spettri centrali del "Processo di campionamento" nei grafici sottostanti, con un impulso che appare a moltiplicazioni della frequenza di campionamento . La moltiplicazione nel tempo è una convoluzione in frequenza, quindi lo spettro del processo di campionamento convolge con lo spettro di ingresso analogico e quindi lo replica ad ogni multiplo della frequenza di campionamento.
Lo spettro di output finale è unico solo nella gamma di $-f_s/2$ per $+f_s/2$, quindi spesso lo dimostriamo solo poiché rappresenta già ciò che è nello spettro se lo estendiamo da $-\infty$ per $+\infty$. Tuttavia, quando si ha a che fare con il confine A / D, così come quando si lavora con l'elaborazione del segnale multi-rate, trovo che aiuti intuitivamente mantenere il modello mentale dell'asse della frequenza digitale che si estende con periodicità fino a$\pm \infty$.
Quando si passa da digitale ad analogico con conversione D / A, lo spettro periodico esteso viene mantenuto. Rappresenta anche in analogico come sarebbe lo spettro se potessimo mantenere la rappresentazione del segnale con impulsi periodici: ciò significa che se l'uscita D / A fosse solo impulsi ponderati nel tempo, e zero in mezzo, come segnale analogico, noi avrebbe ancora nel mondo analogico lo stesso spettro di uscita periodico. Il problema con questo approccio è la potenza di uscita limitata e quindi l'SNR (Signal to Noise Ratio) in uscita che possiamo ottenere cercando di approssimare un impulso nel tempo, rispetto all'SNR che può essere ottenuto con l'approccio dell'hold di ordine zero.
Il mantenimento dell'ordine zero è la classica topologia del convertitore D / A: tratteniamo ogni campione in uscita ricreando una rappresentazione a scala della nostra forma d'onda originale, quindi il filtro passa basso per completare la stima della forma d'onda del tempo continua interpolata. Lo svantaggio di questo approccio è lo statismo Sin (x) / x (Sinc) che si verifica: una tenuta di ordine zero equivale a convolgere nel tempo gli impulsi di uscita desiderati con un impulso rettangolare dell'ampiezza del periodo di campionamento. La convoluzione nel tempo è la moltiplicazione in frequenza, e cioè la trasformata di Fourier dell'impulso rettangolare$T$ wide è una funzione Sinc con il primo null in $1/T$che è la frequenza di campionamento. Quindi lo spettro all'uscita del DAC sarà il prodotto dello spettro digitale periodico con questo Sinc, come rappresentato nello spettro inferiore sotto.
Esistono architetture D / A che forniscono un'approssimazione più vicina a un'uscita impulsiva, ad esempio il convertitore D / A Return to Zero (RZ). Con questo approccio l'uscita ritorna a zero dopo la metà del periodo di campionamento, e quindi è il risultato della convoluzione di un impulso rettangolare largo la metà, e con quello che spinge fuori il primo nullo non si verifica finché$2f_s$, riducendo la caduta della banda passante di conseguenza a scapito della potenza del segnale.
secondo il teorema di Nyquist l'intervallo di x [n] sarà (-16/2) <x [n] <(16/2), cioè -8 <x [n] <8, i bit di quantizzazione sono dati nella forma di 2 ^ n, che è uguale a 8, quindi 2 ^ n = 8, cioè n = 3.