Coordinate conformi sulla superficie

Question

Supponiamo $\Omega$ è un dominio in $R^2$, permettere $F: \Omega\rightarrow R^3$ essere una mappa fluida tale che $F(\Omega)$è una superficie liscia. La metrica sulla superficie è$$g=F_x\cdot F_x dx^2+2F_x\cdot F_y dxdy+F_y\cdot F_y dy^2$$ Abbiamo un altro sistema di coordinate tale che la metrica sia $g=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$? Ho trovato qualcosa sulle coordinate isotermiche online. Dalla mia comprensione, quei risultati sono locali. Possiamo trovarlo per intero$\Omega$? Non sono sicuro che la topologia (semplicemente collegata, ecc.) Influenzi il risultato.

Answer 1

Supponiamo che $\partial\Omega$è liscia. Quindi come$\Omega\subset \mathbb{R}^2$, sappiamo che dopo aver "riempito i buchi" otteniamo un genere $0$superficie e questa risposta si applica e garantisce l'esistenza di una mappa armonica$u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$senza punti critici. Poi$*du$ è una forma unica chiusa (dove $*$ è la stella Hodge per la metrica di pull-back $g =F^*\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^3}$).

Se $*du$ sembra essere esatto, quindi abbiamo $*du=dv$ per una funzione fluida $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$. Esattezza di$*du$ segue ad esempio if $\Omega$ è semplicemente connesso (o più generalmente se $H^1(\Omega,\mathbb{R})=0$). Poi$(u,v):(\Omega,g)\rightarrow \mathbb{R}^2$ti darà coordinate isotermiche globali , che è esattamente ciò che desideri.