Curva in una sfera

Question

Permettere $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$essere una curva regolare. Se esiste un punto$P\in\mathbb{R}^3$ tale che la linea che passa attraverso $P$ e $\alpha(t)$ è perpendicolare alla linea tangente in $\alpha$ nell'istante $t$ per ogni $t$, poi la traccia di $\alpha$ è contenuto in una sfera.

Come $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ e $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, poi

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ per alcuni $c\geq0$.

È corretto? Come potrei risolverlo senza integrarlo?

Answer 1

Non devi nemmeno conoscere il concetto di integrazione! Usa quel fatto che$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$per ciascuno $t$, da cui ne consegue $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ è costante.