Derivato complesso: come si ottiene questo risultato?

Question

Sono abbastanza nuovo nel campo dell'algebra complessa. Durante i miei studi mi sono imbattuto nel seguente termine:

$$(z - \bar{z}) H(z)$$

dove $z$ è una variabile complessa, $\bar{z}$ il suo complesso coniugato, e $H(z)$ è una funzione complessa a seconda $z$. Gli autori prendono la derivata complessa rispetto a$z$ e ottenere:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right) = H(z) + z\frac{\partial H(z)}{\partial z} - \bar{z}\frac{\partial H(z)}{\partial z}$$

Ora la mia domanda: come è stato ottenuto questo risultato?

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Il mio approccio sarebbe simile a questo:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right)$$ Tirare $H(z)$ all'interno della parantesi $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z) - \bar{z}H(z) \right)$$ E dividere i termini $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z)\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\bar{z}H(z) \right)$$ Ora applica la regola della catena $\frac{\partial}{\partial x}a(x)b(x) = a'(x)b(x) + a(x)b'(x)$:

$$\frac{\partial}{\partial z} zH(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \frac{\partial}{\partial z}\bar{z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Ora, mi aspetto $\frac{\partial}{\partial z} z= \frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1$:

$$H(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

che dovrebbe semplificare per:

$$z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Non è il risultato ottenuto dagli autori (il termine $H(x)$manca). Una possibile spiegazione potrebbe essere questa$\frac{\partial}{\partial z} \bar{z}=0$, ma sarei sorpreso se $\bar{z}$ è indipendente da $z$. Sai dov'è il mio errore? Ho meno fiducia nel penultimo passaggio.

Answer 1

Infatti $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 0$. Ricordati che$\frac{\partial}{\partial z}$ è definito come $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}$, così $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1 + i^2 = 0$.

Answer 2

$\overline z$ viene trattata come una variabile indipendente da $z$. Naturalmente, non è realmente indipendente, poiché esiste una corrispondenza uno-a-uno chiaramente definita tra i numeri complessi e le loro coniugate. Ma alcuni formalismi di analisi complessa pretendono che non sia così. Ecco perché personalmente non mi piacciono questi formalismi.

Ma c'è un modo per renderlo rigoroso. Possiamo notare che se una funzione$f(x+\mathrm iy)$ è complessa differenziabili, quindi $\partial_z f=\partial_x f=-\mathrm i\partial_y f$. Da questo possiamo concludere che$$\partial_z f=\frac{1}{2}(\partial_x -\mathrm i\partial_y )f.$$Possiamo anche notare che possiamo applicare l'operatore differenziale sulla destra a funzioni che non sono differenziabili complesse. Quindi è una generalizzazione dell'operatore derivato complesso, e lo definiamo$\partial_z:=\frac{1}{2}(\partial_x-\mathrm i\partial_y)$. Per le funzioni differenziabili complesse, restituisce solo la derivata complessa. Ma restituirà anche qualcosa per funzioni non differenziabili, ad esempio,$\partial_z\overline z=0$. Usando il vecchio significato dove$\partial_z$ è strettamente la derivata complessa, $\partial_z\overline z$ semplicemente non esisteva, da allora $\overline z$non è complessivamente differenziabili. Quindi non saresti stato in grado di utilizzare nessuna delle regole per la differenziazione in primo luogo.