Differenziabilità a zero

Question

Considera la funzione data da,

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Ora voglio determinare $k$ e $m$ tale che $f$ è differenziabili in $x=0$.

Inoltre, voglio determinare $k$ tale che la linea $k=y-36x$ è perpendicolare alla curva seguente data da,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

Per il primo compito ho concluso $m=1$ e $k\in \mathbb{R}$. È corretto, per il secondo compito, non ho fatto progressi

Answer 1

Continuità:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

Differenziabilità:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

È possibile ottenere 2 equazioni: una per la continuità e l'altra per la differenziabilità.

CONTROLLO DELLA CONTINUITÀ

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

CONTROLLO DIFFERENZIABILITÀ $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

Ti lascio concludere.