Dimensione e ingrandimenti

Question

Considera una varietà proiettiva $X$, e lascia $Y$essere una sottovarietà chiusa. Considera l'esplosione di$X$ lungo Y: otteniamo una nuova varietà $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, insieme a una mappa birazionale $$b:\tilde{X}\to X$$ che è un isomorfismo al di fuori del locus eccezionale $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Domanda: è vero $\dim\tilde{X}=\dim X$?

La mia idea: l'esplosione è una mappa birazionale, quindi un isomorfismo su un sottoinsieme aperto (denso); poiché la dimensione di una varietà è definita come il grado di trascendenza del campo funzione, che è lo stesso sull'insieme aperto, allora possiamo concludere.

La mia idea è corretta? Lo chiedo perché, mentre ne sono convinto per il caso di far saltare in aria un punto, per il caso generale di una sottovarietà non ne sono sicuro, perché intuitivamente mi sembra di aggiungere un bel grande spazio (lo so, non è rigoroso, ma ho appena iniziato a studiare questo argomento).

Answer 1

Ci sono un paio di cose da tenere a mente. Uno è che penso tu voglia che la costruzione ingrandita viva$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; almeno questo funziona quando$Y$ è un incrocio completo.

In generale, però, come hai detto, il luogo eccezionale si pone come proiettivizzazione del fascio normale $\mathcal N_{Y|X}$. Impostato$\dim X = n$ e $\dim Y = m$. Il rango del fascio normale è sempre la codimensione di$Y\subset X$, quindi $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ ha dimensione relativa $n - m - 1$ (significa che questa è la dimensione delle fibre di $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, la mappa della struttura del fascio proiettivo). Ora aggiungendo a questo la dimensione di$Y$, otteniamo la dimensione del fascio proiettivo come varietà, vale a dire $(n-m-1) + m = n-1$, mostrando che ha codimensione $1$ nel $X$. È per questo motivo che il luogo eccezionale di un ingrandimento è generalmente indicato come il divisore eccezionale .