Dimostralo se la somma di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e la differenza di vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono perpendicolari

Question

Ecco il problema completo:

Dimostralo se la somma di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e la differenza di vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono perpendicolari, quindi la grandezza di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ deve essere equivalente.

Ok, quindi ho provato a passare attraverso il ramo della formula per la somma dei vettori perpendicolari $\ \vec{a}+\vec{b}=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2}$$ma non penso che funzioni comunque. Vorrei vedere un approccio senza utilizzare il punto prodcut di 2 vettori perpendicolari che sono 0.

Answer 1

Hai, per il prodotto dot $\langle .,. \rangle$, $$\langle a+b, a-b \rangle = 0$$

così $$\langle a, a\rangle -\langle a, b\rangle +\langle b, a\rangle -\langle b, b\rangle =0$$

E perché $\langle a, b\rangle =\langle b ,a \rangle $, lo deduci $$\langle a,a \rangle =\langle b , b\rangle $$

Modifica : se vuoi dimostrarlo in un altro modo, applica il teorema di Pitagora a$a+b$ e $a-b$, che sono perpendicolari. Hai capito$$|a+b+a-b|^2 = |a+b|^2+|a-b|^2$$

così

$$4|a|^2 = |a|^2+|b|^2+2 \langle a,b \rangle + |a|^2+|b|^2-2 \langle a,b \rangle$$

così $$|a|^2 = |b|^2$$

Answer 2

Puoi usare la geometria. Vettori$\vec a$ e $\vec b$ formare un parallelogramma (come la figura) e $\vec a+ \vec b$ e $\vec a- \vec b$ sono le diagonali.

Sappiamo che queste diagonali si tagliano nel punto centrale. Così$BI=DI$. Se$CI$ è perpendicolare a $BD$ poi i triangoli $BIC$ e $CID$ sono congruenti e quindi $BC=CD$.

Answer 3

Il prodotto scalare dei vettori somma e differenza svanisce perché sono reciprocamente perpendicolari.

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0$$ Moltiplica termine per termine $$(\vec a\cdot\vec a)-(\vec b \cdot \vec b)-(\vec a\cdot\vec b)+(\vec a \cdot\vec b)=0$$ $$ |a|^2-|b|^2 =0$$ $$ |a|=|b|$$

EDIT1

Ok quindi geometricamente con trig:

Pendenze di somma, diff di vettori in un parallelogramma

$$\tan \theta_1=\dfrac{b \sin \theta}{a+ b \cos \theta} $$ $$\tan \theta_2=\dfrac{b \sin \theta}{a- b \cos \theta} $$

Il prodotto di LHS si abbronza è $-1$

$$\dfrac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2- b^2 \cos^2 \theta}=-1$$

Cross moltiplica, trasponi per semplificare lo scarto $a+b=0$ ottenere una soluzione $$a=b.$$