Dimostrare un processo stocastico è gaussiano e continuo

Question

Ho difficoltà a capire quando e come provare se un dato processo stocastico è gaussiano e continuo. Nei miei compiti ed esami mi viene assegnato un processo, ad es$$ X_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-s}dB_s $$ o $$ Y_t = tB_t - \sigma \int_0^t B_s ds$$Qui mi viene chiesto se il processo è gaussiano e / o continuo. Il professore non ha potuto spiegare molto bene il ragionamento, ha detto che se un processo può essere scritto come un vettore gaussiano a tempo discreto, allora nel limite sarebbe un processo gaussiano discreto.

Il mio approccio sarebbe dividere la griglia temporale in una partizione $ \pi = \lbrace t_1= 0, t_2,\; \dots \; ,t_m =t \rbrace$ e discretizzare il processo come vettore:

$$(X_{t_1},X_{t_2},... X_{t_m} ) = \left((1-t_1)\int_0^{t_1} \frac{1}{1-s}dB_s \;, \; \dots \;,\; (1-t_m)\int_0^{t_m} \frac{1}{1-s}dB_s \right) \\ = \lim_{n \to +\infty} \left( (1-t_1)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-t_{\frac{k}{n}}}\left[B(t_{\frac{k+1}{n}})-B(t_{\frac{k}{n}})\right] , \;\dots \;, \;(1-t_m)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-t_{\frac{mk}{n}}}\left[B(t_{\frac{mk+1}{n}})-B(t_{\frac{mk}{n}})\right] \right) $$Questo approccio è corretto per la gaussianità? Come faresti a mostrare continuità? (Dice semplicemente nelle sue note "per costruzione è continuo" ma questo non mi soddisfa).

Answer 1

La distribuzione di un processo stocastico è espressa attraverso le distribuzioni finite dimensionali, cioè la raccolta di distribuzioni di tutti i vettori della forma $\left(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_k}\right)$ per tutto il possibile $k = 1,2,...$ e $t_1 < ... < t_k$. Un processo stocastico a tempo continuo è gaussiano se tutte le sue distribuzioni finite dimensionali sono gaussiane - quindi, sì, è sufficiente guardare a punti discreti nel tempo, ma la tua argomentazione deve funzionare per molti di tali punti arbitrariamente.

Per continuità, dovresti correggere un percorso di esempio $\omega$ e sostengono che la mappatura $t \mapsto X_t\left(\omega\right)$ è continuo per ae $\omega$. Il moto browniano stesso ha questa proprietà, quindi puoi usarlo come elemento costitutivo per altri processi.