Dimostrare una proprietà limite

Question

Voglio provare la seguente proprietà:

Permettere $(a_n),(b_n)$ essere sequenze in $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ e $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, supponiamo $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Ad un certo punto il mio copione lo menziona $-(a_n-a)<\epsilon $ e $b_n - b<\epsilon$

Qualcuno potrebbe spiegarmi l'introduzione dietro il gradino sopra.

Grazie in anticipo.

Answer 1

Vuoi dimostrarlo, a condizione che la prima sequenza converga a $a$ e il secondo a $b$, Tiene $a\le b$.

Supponiamo di no, quindi $a>b$. Perciò$\varepsilon=(a-b)/2>0$ e possiamo trovare $n_1\ge n_0$ tale che, per $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Questo si traduce in $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ La prima coppia di disuguaglianze implica $-(a_n-a)<\varepsilon$. Puoi anche isolarti$b_n-b<\varepsilon$ e derivare una contraddizione.

D'altra parte, riscriverei più semplicemente (*) come $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ e osservalo $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, quindi questo diventa $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ e le disuguaglianze centrali forniscono la contraddizione.