Dipendenza dal tempo degli operatori

Question

Nell'Introduzione alla meccanica quantistica di Griffiths, mentre studiava l'evoluzione temporale del valore atteso della posizione, l'autore ha scritto: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Così $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Lo presumeva $x$non ha dipendenza dal tempo? E perché?

Answer 1

Ha appena ipotizzato che x non abbia dipendenza dal tempo? E perché?

Sì. Il risultato di un integrale del modulo$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ è una funzione del tempo $t$; cioè, una funzione di una variabile reale (o, in senso lato, l'integrale valuterà una quantità che non dipenderà da$x$, solo su $t$). Quindi, dopo aver differenziato$(1)$, si otterrebbe: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$come dettato dal Teorema integrale di Leibniz (si noti che ho assunto alcune assunzioni deboli sul comportamento di$f$, ma non è di incredibile interesse qui). Una banale applicazione di questo in$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ produce il risultato desiderabile.

Answer 2

Ci sono due formulazioni della meccanica quantistica:

• Rappresentazione di Schrödinger . L'evoluzione temporale è codificata nel vettore di stato, funzione d'onda -$\Psi(x,t)$e le osservabili (operatori) sono costanti nel tempo
• Rappresentazione di Heisenberg . Ora gli operatori si evolvono nel tempo ei vettori di stato sono indipendenti dal tempo, mantenuti fissi.

Nel caso di teorie interagenti c'è una rappresentazione di interazione ibrida . Qui gli operatori evolvono con l'Hamiltoniana non interagente$H_0$e gli stati si evolvono tramite la parte dell'interazione $H_I$.

Quindi nel tuo caso l'autore usa la rappresentazione di Schrödinger.