Domanda basata sul modello probabilistico di diffusione
Sono stato perplesso su questa domanda nel mio corso introduttivo sulle probabilità, senza la minima idea di come procedere:
"Ci sono due caselle: A contenente n palline blu e B contenente n palline nere. Ad ogni passaggio, una pallina viene scelta a caso da entrambe le caselle e scambiata, ovvero quella da A viene messa in B e viceversa. $X_m$essere il numero di palline nere nell'urna A dopo m passi. Osserva che questo determina lo stato del sistema dopo m passi, cioè la conoscenza$X_m$descrive la composizione di entrambe le urne. Ottieni la funzione di massa di probabilità di$X_m$. "
Sono rimasto bloccato su questa domanda, scrivendo equazioni inutili senza modo di sapere cosa dovrei fare. Qualcuno potrebbe darmi un'idea di come posso iniziare?
Inoltre, siamo appena stati introdotti alla variabile casuale (l'ho messa in circolazione perché ho trovato qualcosa in linea riguardo alle matrici di Markov e tutto il resto, e non ne ho capito niente).
Grazie in anticipo!
Risposte
Data una procedura che riguarda due scatole con palline blu e rosse , è difficile indovinare un numero di scatole nere in un'urna. Di seguito ho ipotizzato che la domanda contenga errori di stampa e ho cercato di risolverli, ma la risposta ottenuta sembra troppo complicata.
Partiamo dal presupposto che inizialmente box $A$ contiene $n$ palline blu e nessun'altra pallina e scatola $B$ contiene $n$palle nere e non altre palle. Inoltre assumiamo che ad ogni passaggio$m\ge 1$ tutte le palle da $A$ e tutte le palle da $B$hanno uguale probabilità di essere scelti. Supporre che$X_{m-1}=i$. A seconda dei colori delle palline scelte, ci sono i seguenti quattro casi possibili per$X_m$.
1)) La palla da $A$ è nero e la palla da $B$è nero. La probabilità di questo caso è$\tfrac in\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ In questo caso $X_{m}=X_{m-1}=i$.
2)) La palla da $A$ è nero e la palla da $B$è blu. La probabilità di questo caso è$\tfrac in\cdot \tfrac in=\tfrac{i^2}{n^2}.$ In questo caso $X_{m}=X_{m-1}-1=i-1$.
3)) La palla da $A$ è blu e la palla da $B$è nero. La probabilità di questo caso è$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{(n-i)^2}{n^2}.$ In questo caso $X_{m}=X_{m-1}+1=i+1$.
4)) La palla da $A$ è blu e la palla da $B$è blu. La probabilità di questo caso è$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac in=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ In questo caso $X_{m}=X_{m-1}=i$.
Per ciascuno $m\ge 0$ permettere $x_m=(x_{m0}, x_{m1},\dots, x_{mn})^T$, dove per ogni numero intero $i$ a partire dal $0$ per $n$, $x_{mi}$ è una probabilità che $X_m$ equivale $i$. L'osservazione sopra segue quella$x_m=Ax_{m-1}$ per ciascuno $m\ge 1$, dove $A=\|a_{ij}\|$ è una matrice tale che
$a_{ii}=\frac {2i(n-i)}{n^2}$ per ciascuno $0\le i\le n$,
$a_{i-1, i}=\frac{(n-i)^2}{n^2}$, per ciascuno $1\le i\le n$,
$a_{i+1, i}=\frac{i^2}{n^2}$, per ciascuno $0\le i\le n-1$,
e tutti gli altri $a_{ij}$ sono zeri.
Poi $x_0=(1,0,\dots,0)$ e $x_m=A^mx_0$ per ciascuno $m$. Per grandi$m$ il calcolo della potenza $A^m$può essere semplificato trovando una forma normale Jordan $J=P^{-1}AP$, calcolando $J^m$dalle formule per le cellule Jordan di$J$ e ottenere $A^m=PJ^mP^{-1}$.