Domanda dei compiti: probabilità congiunta

Question

Ho tentato il seguente problema:

L'ingresso X a un canale di comunicazione è $+1$ volt o $-1$volt con uguale probabilità. L'uscita Y del canale è l'ingresso più una tensione di rumore N distribuita uniformemente nell'intervallo da$-2$ volt a $+2$volt. Trova la probabilità congiunta$P(X = +1, Y ≤ 0)$.

Ecco il mio tentativo di soluzione:

Per prima cosa notiamo che la probabilità $P(X = +1)$ ci viene dato nel problema come $1/2$ perché il problema ci dice quell'input $X$ può essere $+1$ o $-1$ con uguale probabilità.

Dobbiamo trovare la probabilità $P(Y≤ 0)$. Ci viene detto che l'uscita$Y$ è l'input $X$ più $N$ che è distribuito uniformemente da $-2 $ per $2$.

Allora sappiamo che se $ Y≤0$, poi $-2≤N≤ -1$

Perché ci è stato detto $N$ è distribuito uniformemente, possiamo trovare la probabilità che $N$ soddisfa le nostre condizioni come segue:

$P(-2≤N≤ -1)=$$ \ frac {-1--2 \} {4} = \ frac18 $

Così:

$ P (X = + 1, Y≤0) = \ frac12 \ times \ frac14 = \ frac18 $

La mia soluzione è corretta? In caso contrario, potresti per favore sottolineare i difetti nella mia soluzione?

Answer 1

Sì.$$\small\begin{align}\mathsf P(X=+1, Y\leq 0)&=\mathsf P(X=+1, N\leq -X)&&N:=Y-X\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -X\mid X=+1)&&\text{Conditional Probability}\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -1)&&\text{Independence}\\&=\dfrac 12\cdot\dfrac{(-1)-(-2)}{4}&&\text{pmf and CDF of given distributions}\\&=\dfrac{1}{8}&&\text{Algebra}\end{align}$$