Domanda di omotopia di base
Sto iniziando a leggere il libro "Rational Homotopy Theory" di Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas ed io abbiamo una domanda veloce sull'inizio (che riguarda solo la teoria dell'omotopia di base negli spazi e nemmeno la teoria dell'omotopia razionale). Il libro dimostra un risultato denominato "Whitehead's Lifting Lemma" come Lemma 1.5 (p. 12):
Supponiamo che venga fornito un diagramma (non necessariamente commutativo): \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} insieme a a con un'omotopia$H: A \times I \rightarrow Z$ a partire dal $\psi i$ per $f\varphi$.
Assumere $(X,A)$ è un complesso CW relativo e $f$è un'equivalenza di omotopia debole. Poi$\varphi$ e $H$ può essere esteso rispettivamente a una mappa $\Phi: X \rightarrow Y$ e un'omotopia $K: X \times I: \rightarrow Z$ a partire dal $\psi$ per $f \Phi$.
Quindi il libro continua con alcuni corollari e la mia domanda è: in che modo la seguente affermazione è un corollario del lemma sollevante di Whitehead?
Se $(X, A)$ è un complesso CW relativo e $A$ ha il tipo di omotopia di un complesso CW, quindi $X$ ha il tipo di omotopia di un complesso CW.
Penso di essere riuscito a dimostrare questo risultato costruendo un complesso CW $\tilde{X}$ a partire dal $\tilde{A}$ (un complesso equivalente a $A$) incollando le celle utilizzando le mappe di collegamento da $(X, A)$, e utilizzando un risultato di conservazione delle equivalenze nei pushout (come questo Equivalenze omotopiche in quadrato pushout con cofibrazione. ) su ogni scheletro, ma non vedo come questo usi il Lemma sopra, e il risultato di cui avrei bisogno su pushout ed equivalenze appare più avanti nel libro credo.
Qualsiasi intuizione è benvenuta, saluti!
Risposte
Permettere $A$ essere un complesso in CW e $X$ ottenuto da $A$attaccando induttivamente le cellule. Scrivi$i:A\hookrightarrow X$ per l'inclusione.
Per iniziare lascia $p:\widetilde X\rightarrow X$essere un'approssimazione CW (aka modello cellulare, vedere Th.1.4). Da$A$ è un complesso CW l'equivalenza debole $p$ induce una biiezione $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(vedi Co.1.6). Quindi c'è una mappa$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ insieme a un'omotopia $H:p\widetilde i\simeq i$. Ora considera il diagramma \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} I presupposti del Lemma 1.5 sono soddisfatti, quindi c'è una mappa$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ tale che $\varphi i=\widetilde i$ e $p\varphi\simeq id_X$. Così$X$ è una retrazione (omotopia) del complesso CW $\widetilde X$, e ne consegue immediatamente da questo che $X$ ha il tipo di omotopia CW.
Ora l'ultimo fatto è vero nella generalità dichiarata, ma stabiliremo un'affermazione più precisa per la situazione attuale: mostreremo che $X$ è l'omotopia equivalente a $\widetilde X$ come previsto.
Per questo avviso che $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ prende $\varphi p$ per $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Ma perché$p$ è un'equivalenza debole la mappa indotta è biiettiva, quindi l'equazione $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ implica che $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Quindi abbiamo la pretesa.