Domanda fondamentale sul lemma di Yoneda

Question

Per curiosità, sto cercando di insegnarmi da solo un po 'di teoria delle categorie e ho una domanda sul lemma di Yoneda.

Ricordo la notazione che sto usando. Spero di non sbagliarmi (troppo). Data una categoria$\mathbf{A}$ ad ogni oggetto $A$ possiamo assegnare un presheaf $H_A : A^{op} \rightarrow Set$, che è l'insieme delle mappe $\mathbf{A}(-,A)$.

Il lemma di Yoneda lo dice, se consideriamo la categoria dei preshaves $[\mathbf{A}^{op},Set]$ dove i morfismi sono le trasformazioni naturali tra funtori, abbiamo per ogni presheaf $X$ e ogni oggetto $A$:

$[\mathbf{A}^{op},Set](H_A,X) \sim X(A)$ [1]

dove non ricordo il significato (funtoriale) di $\sim$, ma come set c'è una biiezione.

Spero che l'impostazione sia corretta, altrimenti correggimi. Ora la mia domanda, probabilmente banale:

Domanda: oltre alle proprietà funzionali, la relazione [1] dice che se$X(A)$ non è l'insieme vuoto, che c'è sempre una trasformazione naturale tra $H_A$ e $X$. Detto un altro modo, per tutti$X : \mathbf{A}^{op} \rightarrow Set$ e per ogni $A$ tale che $X(A)$ non è l'insieme vuoto, c'è sempre una trasformazione naturale tra $X$ e $H_A$. È corretto ? È forse banale che sia così facile per un presheaf essere "connesso naturalmente" (questa espressione è naif) con un rappresentabile$H_A$ ?

Answer 1

Il significato del tuo $\sim$ è che esiste un "isomorfismo naturale" tra i due lati, cioè è compatibile con le mappe indotte da una trasformazione naturale tra due funtori $X$ e $X'$, e con le mappe indotte da una funzione tra due oggetti $A$ e $A'$.

Sì, è corretto che ogni elemento di $X(A)$ dà luogo a una trasformazione naturale tra $\mathbf{A}(-, A)$ e $X$. Aiuta a pensare in cosa consiste una tale trasformazione naturale: una famiglia di morfismi$\beta_a : \mathbf{A}(a, A) \to X(a)$ per ogni oggetto $a$ di $\mathbf{A}$ che è "compatibile con la composizione" nel senso che se $f : a \to b$ poi $f^*\circ \beta_a = \beta_b \circ X(f)$, dove $f^*$ è la pre-composizione con $f$. Quando lo fai non sembra strano che ci sia una connessione tra queste trasformazioni naturali e gli elementi di$X(A)$. Dopo tutto, ogni$g : a \to A$ dà vita a $X(g): X(A) \to X(a)$, quindi c'è un modo semplice per produrre elementi di $X(a)$, vale a dire valutare in un elemento di $X(A)$.

Puoi vedere esattamente come funziona tracciando una prova del lemma (duale) di Yoneda. Ogni$r \in X(A)$ dà luogo alla trasformazione naturale $\beta$ tale che $\beta_a(g:a \to A) = X(g)(r)$. Al contrario ogni tale trasformazione naturale$\beta$ dà origine all'elemento $\beta_A(\operatorname{id}_A) \in X(A)$. Yoneda ti sta dicendo che l'unico modo "naturale" (senso informale) per produrre elementi di$X(a)$ dai morfismi in $\mathbf{A}(a, A)$ è applicare $X$ per ottenere una funzione $X(A) \to X(a)$ e poi valutare da qualche parte.