Domanda su Spazio vettoriale e Spazio secondario

Question

Permettere $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. È$A$uno spazio vettoriale? È un sottospazio?

Voglio solo confermare se lo sto facendo bene o no.

Per $A$ per essere uno spazio vettoriale, deve soddisfare la proprietà di chiusura rispetto all'addizione.

Permettere $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ e $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.

$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$

$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$

$a_1 + a_2$ è un elemento di $A$. Aggiungendo (1) e (2) otteniamo,

$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$

$a_1 + a_2$ non è un elemento di $A$. Quindi$A$ non è uno spazio vettoriale e non un sottospazio.

È giusto?

Answer 1

No, non lo stai facendo bene. Il tuo lavoro non è necessariamente sbagliato ma hai perso il punto dell'esercizio.

Il set dato non contiene l'elemento $(0,0,0,0)$. Quindi, non è sottospazio di$\mathbb{F}^4$. Non è nemmeno uno spazio vettoriale se stiamo considerando la moltiplicazione scalare entry-wise e l'addizione vettoriale.

Hai perso alcuni passaggi importanti. Per verificare se qualcosa è uno spazio vettoriale, devi controllare un intero gruppo di assiomi diversi (8 assiomi diversi, a seconda del libro da cui hai imparato). Per verificare se qualcosa è un sottospazio di un dato spazio vettoriale, devi solo controllare che soddisfi la chiusura in entrambe le operazioni e contenga l'identità additiva dello spazio vettoriale. È necessario rivedere queste definizioni prima di eseguire altri problemi.

Answer 2

Ogni sottospazio vettoriale deve contenere l'origine. Le linee e i piani che passano attraverso l'origine formano sottospazi vettoriali.