È $\frac{u}{|u|}$1- Lipschitz?

Question

Voglio dimostrare che l'applicazione$\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$è Lipschitz con costante$1$. Se aggiungo ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$), trovo che la costante sia uguale$2$(la norma utilizzata è la norma euclide). Non è$1$- Lipschitz?

Grazie

Answer 1

è$1-$Lipschitz.$|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$e$|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$o$2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. Applicando la disuguaglianza CS la proprietà Lipschitz si riduce a$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$dove$a=|u|$e$b=|b|$e questo si riduce a$(a-b)^{2} \geq 0$che è vero.

Answer 2

Una dimostrazione che utilizza la proiezione su insiemi convessi

$B_3$la sfera dell'unità chiusa di$\mathbb R^3$è un sottoinsieme convesso chiuso. Il risultato richiesto consiste nel dimostrare che la proiezione su$S^2$di punti in$\mathbb R^3 \setminus B_3$sta contraendo.

Una prova può essere trovata qui .

Puoi imitare quella prova nel tuo caso speciale, se lo desideri.

Answer 3

Dimostrazione geometrica mediante il teorema di intercettazione

Supponiamo senza perdita di generalità che$1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$e denotare$v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Notare che$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Utilizzo del teorema di intercettazione per i triangoli$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$e$0 \ u \ v^\prime$ottieni

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$perché$\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.